Découvre sans plus attendre l’analyse du sujet de mathématiques E EDHEC BS 2021. C’est une épreuve très importante du concours pour les candidats ECE.
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Les fonctions à deux variables effectuent leur retour à l’EDHEC après avoir été absentes depuis 2017, elles sont présentes dans un exercice assez classique et sans surprise.
Exercice 1
1) Il fallait décomposer en montrant que les trois fonctions composant f sont individuellement de classe C2 sur R2, donc la somme des trois est également C2 sur R2.
2) a) Pas de difficultés, on dérive f en fonction de x et en fonction de y. On a d1 = 3x² – 3y et d2 = 3y² – 3x.
b) On résout d1 = 0 et d2 = 0. x et y jouent ici un rôle symétrique, on a alors x = y donc 3x² – 3x = 0. On résout et on trouve deux solutions : x = y = 1 et x = y = 0.
3) a) On dérive d1 et d2 en fonction de x et en fonction de y. On a d11 = 6x, d12 = -3, d21 = -3 et d22 = 6y.
b) On écrit la matrice hessienne de dimension 2×2 pour chaque point critique et on identifie les valeurs propres pour lesquelles le déterminant est nul. Si elles sont toutes les deux positives, il y a un extremum local. Si elles sont toutes les deux négatives, il n’y a pas d’extremum local. Si elles sont de signes opposés, on ne peut pas conclure. Pour (0,0), on trouve 3 et -3. Pour (1,1), on trouve 3 et 9. Les deux valeurs propres sont strictement positives donc f admet un minimum local en (1,1). On calcule la valeur avec la fonction de départ : f(1,1) = -1
4) On montre que f(x,y) > -1 pour tout x et pour tout y.
5) On a g(x) = f(x,1) = x3 -3x +1. On étudie les variations de g et on montre que la fonction est strictement croissante sur [x tel que g(x) = 4, +∞[. On utilise le théorème des valeurs intermédiaires pour montrer que l’équation g(x) = n admet une unique solution.
6) a) h-1 a les même variations que la restriction de g. on a donc h-1 est croissante de [-1, +∞[ vers [1, +∞[.
b) On a Un = h-1(n). Cette fonction croit vers +∞ quand x tend vers +∞, donc la limite de Un est +∞.
c) Cette question demandait un peu de réflexion et une bonne connaissance du cours afin de faire coïncider la définition d’Un (g(Un) = n) avec l’équivalent proposé.
Un exercice sur les variables aléatoires continues qui était sans grande difficulté si le candidat s’était exercé sur ce qui avait pu être proposé à l’EDHEC ces dernières années.
Exercice 2
1)a) Il suffit de prouver les 3 points suivants :
-Que la fonction est définie sur R et C0 sur R sauf en un nombre fini de point
-Qu’elle est positive ou nulle sur R
-Que l’intégrale de -inf à +inf de f(x) vaut 1
Ce qui est le cas !
b) C’est classique aussi, l’univers de Y étant ]0,+inf[ il suffit de déterminer P(Y<x) pour x<0 (qui fait F(x)=0) et x>0 on trouve ainsi F(x)=exp(-1/x^2)
2) a) Même méthode que la 1)a)
b) On trouve pour x<1 G(x)=0 et pour x>1 G(x) = 1 – 1/x²
3) a) L’univers de la variable Mn est le même que la variable X et en calculant on a pour x<1 Gn(x)=0 et pour x≥1 on a Gn(x)= (1-1/x^2)^n
b) L’univers de Yn est [1/racine(n);+inf[ comme celui de Mn est [1;+inf[ après calcul en transformant P(Yn<x) par P(Mn<racine(n)*x) on trouve les résultats attendus.
4) Pour x négatif ou nul, Fn(x) = 0. Lorsque n tend vers +inf, on a donc Fn(x) tend vers 0.
5) a) Il faut procéder par encadrement à partir de l’énoncé on peut écrire n-1≤1/x^2<n d’où par passage à la fonction inverse (qui est décroissante sur ]0 + inf[) on a 1/racine(n-1)≥x>1/racine(n). Donc notre égalité est valable d’après 3b)
b) Question usuelle ln(1+u) est équivalent à u en 0 et on a en passant par la fonction exponentielle dans l’égalité de Fn lorsque x ≥1/racine (n): exp(n*ln(1-1/nx^2)) d’où par équivalent en +inf on a Fn (x) qui est équivalent en +inf à exp(-1/x^2) et la limite est donc exp(0)=1
6) En passant par la limite comme dans 5b) on trouve que Yn converge en loi vers une VA dont la loi est celle de Y.
Un superbe exercice d’algèbre avec une matrice à paramètre et mélange suites et matrice avec de bons programme Scilab surement le plus difficile des quatre, il faut prendre du recul et bien faire attention au formule données et ne pas se tromper dans les calculs.
Exercice 3
1) a) La matrice est triangulaire inférieure donc les valeurs propres peuvent se lire sur la diagonale.
b) La question est classique, on détermine les sous-espaces propres par calcul.
c) La somme des dimensions des sous espaces propres est 2≠3 donc Ma n’est pas diagonalisable
2) a) On trouve facilement que la dimension de E vaut 3.
b) On voit que JK² correspond à (Ma – I)(Ma – aI)² pour a=0.
c) Il faut partir de ce qui a été fait lors des deux dernières questions.
4) On utilise les données de Scilab qu’on transforme: on reprend la ligne u en ajoutant les valeurs de v et w en fonction de u, sans se mélanger avec les indices, et on en déduit la relation de la question.
5) a) Par équivalence on trouve rapidement que lim Un vers +inf = 1/(a-1)^2
On a également Vn = -a*(a+2)*Un + a²*Un = 2Un = 2/(a-1)²
Et lim Wn = (a^2+1)/(a-1)^2
b) On remplace dans la relation donnée au début de la question 5 par les limites qu’on a trouvées à la question précédente.
c) On prouve rapidement cette relation une fois la 5b) prouvée.
6) Des questions avec lesquelles il faut prendre un peu de recul et revenir à la définition du cours mais qu’on peut trouver si ce qui a été traité avant est correct.
On attendait les probabilité discrètes en problème depuis 2017, elles font leur grand retour avec un exercice dans lequel il faut bien comprendre l’énoncé proposé et prendre du recul sous peine de mal traiter l’exercice.
Problème
1) a) On remarque ici une loi géométrique. On sait que la probabilité d’avoir face est q. La probabilité d’avoir face pendant n manches est q^n. On sait que lorsque n tend vers +∞, q^n tend vers 0 car p appartient à ]0,1[. Il est alors quasi impossible que la manche dure éternellement.
b) E1 énonce qu’il y a eu égalité à la fin première manche, E1= l’intersection de (X1=i) et (Y1=1).
c) Par incompatibilité des événements, et comme (X1=i) et (Y1=1) sont indépendants on trouve P(E1) par passage en probabilité et on trouve P(E1)=1/p(1+q).
d) A et B ont autant de chances l’un que l’autre de gagner et ont la même probabilité d’obtenir pile au même moment comme X1 et Y1 suivent la même loi de probabilité.
{E1, G1, H1} forme un système complet d’événements. On a donc 1 = p(G1) + p(H1) + p(E1). On vient de justifier que p(G1) = p(H1), et on a calculé p(E1) à la question précédente.
2) a) Gn = U Ek pour k variant de 1 à n-1 inter (Xn<Yn)
b) Un calcul qui s’effectue à l’aide de la formule des probabilité composées.
c) La formule reste effectivement valable pour n=1
d) Il faut partir de la définition de Gn et passer par une réunion.
e) B est l’événement complémentaire de G donc il suffit de procéder de la même façon et on a P(B). On sait que 1 = p(G) + p(H) + p(E), et p(G) = p(H) = 0,5 donc p(E) = 1 – 0,5 – 0,5 = 0.
3) a) On passe par la formule des probabilités totales et la relation se montre ainsi assez rapidement.
b) Une question où il faut prendre du recul pour bien écrire l’événement.
4a) On utilise le même principe de ce qui est fait dans la 3b).
b) On trouve rapidement une fois l’événement Kn écrit constitué P(Kn).
5) Même principe qui ce qui a été fait à la fin de la partie 1.
6) en cas d’égalité, chacun relance la pièce. on a donc X = Y = grand(1,1, ‘geom’, p). c = c + 1.
Pour la ligne suivante, on veut écrire le nom et le numéro de la manche du vainqueur. On a donc then = disp(‘A’) et else = disp(‘B’).
7) On peut ici recopier les lignes correspondant à la simulation, puis ajouter dans la deuxième partie else disp(‘B gagne le jeu’).
Ce problème nécessitait de bien comprendre l’énoncé et de traduire correctement les différents évènements en fonction des variables proposées.
