Maths Appliquées emlyon 2023 – Analyse du Sujet

L’Analyse de Sujet de Maths Appliquées emlyon 2023

Le sujet de mathématiques appliquées de l’EM Lyon est la première des quatre épreuves de mathématiques de la BCE. Il s’agit d’ailleurs du sujet le plus traité par les étudiants étant donné qu’il concerne la majorité des écoles de la BCE. Le format du sujet 2023 est assez classique. En effet, il est composé de 3 exercices et fait appel aux trois grands thèmes vus en mathématiques appliquées : analyse, algèbre et probabilités. Contrairement au sujet ECRICOME 2023, ce sujet comporte peu de questions d’informatique et celles-ci sont faisables.

Exercice 1

Le début est très accessible.

La question 1)a. correspond  à une étude de la fonction f. Attention à bien justifier la dérivabilité de la fonction f et ce dans toutes les questions similaires qui vont suivre.

La question 1)b. pouvait être résolue à l’aide d’une récurrence. S’en suivent des questions d’informatique classiques.

La question 3)a. fait appel au théorème de la bijection impliquant l’étude de la continuité et de la monotonie de la fonction g.

Pour répondre à la question 3)b. il est nécessaire de se servir du résultat obtenu à la question précédente. Il était notamment important de remarquer que f(x)-x=g(x)/x . Dès lors, f(x)-x=0 si et seulement si g(x)/x=0 et donc si et seulement si g(x)=0. La bijectivité de la fonction g nous assure que 0 admet un unique antécédent par g dans l’intervalle ]0 ;+infini[ qu’on peut noter α.

Pour réussir la question 3)c il faut d’abord comparer g(exp(-1)), g(α) et g(1) et ensuite composer l’inégalité obtenue par la bijection réciproque de g.

Les questions 4)b. et 4)c. sont plus techniques. 

La question 5)a. est très faisable.

Ensuite, la question 5)b. est accessible, néanmoins il faut faire preuve de rigueur dans les justifications.

La question 6) peut être résolue à l’aide d’un raisonnement par l’absurde.

Exercice 2

Il s’agit d’un exercice d’algèbre classique faisant appel dans la 2^ème et 3^ème partie aux nouvelles notions du programme.

Partie I

Les 4 premières questions portaient sur la recherche des valeurs propres et de sous-espaces propres associés à ces mêmes valeurs propres de la matrice A.

À la question 2)a., il fallait remarquer que le coefficient de chaque ligne de la matrice colonne MU correspond à la somme des coefficients de la même ligne de la matrice M.

Pour la question 2)b il était judicieux de se servir de la question précédente et de remarquer que AU=5U.

Ainsi, 5 est une valeur propre de A et U est un vecteur propre de A associé à la valeur propre 5.

La question 3) fait appel à la méthode classique de diagonalisation de la matrice A.

Partie II

Cette partie, comme la suivante, porte sur les systèmes différentiels linéaires. Il s’agit d’une des nouvelles notions du programme de mathématiques. Les questions sont à nouveaux accessibles dans la mesure où il s’agissait d’appliquer les méthodes usuelles de résolution d’un système linéaire.

C’est le cas notamment à la question 4 qui fait appel à la diagonalisation de la matrice A.

Pour résoudre la question 5) il faut se référer aux questions précédentes et notamment à la question 2).

La question 6) nécessite de résoudre l’égalité requise à la question précédente.

Partie III

À la question 6), il s’agit de déterminer les valeurs propres d’une matrice carrée 2×2.

Ensuite, la question 7) est posée sous forme des questions. Dès lors, la réponse est généralement non. Pour s’en assurer il faut se rappeler le nombre de valeurs propres de la matrice B. Un raisonnement par l’absurde est pertinent pour répondre à cette question par la négative.

La question 8)a. nécessite de faire un test de liberté pour s’assurer de la liberté de la famille β. Il s’agit d’une condition nécessaire pour constituer une base.

À la question 8)b. il suffit de calculer les images des vecteurs de β par f.

La matrice Q de la question 8)c. est composée des vecteurs propres de B associés aux valeurs propres de la même matrice. La méthode est identique à celle de la question 3).

La question 9) fait à nouveau intervenir la méthode classique de résolution d’un système différentiel.

Exercice 3

Cet exercice introduit la notion d’entropie. Il s’agit d’une notion qui n’est pas au programme mais ses propriétés inspirent les concepteurs puisqu’à de nombreuses reprises elles ont donné lieu à des exercices dans les sujets de concours.

D’ailleurs, à ce stade du sujet, le candidat peut se permettre de relâcher sa rédaction pour gagner du temps, à condition que celle-ci ait été irréprochable jusqu’ici.

Partie I

Les résultats obtenus dans cette partie serviront à résoudre les questions des parties suivantes

L’étude de la continuité et de la dérivabilité de la fonction h (questions 1)a. et 1)b.) ne devrait pas poser problème.

Concernant la question 1)c., on pouvait directement admettre que 0 était un premier antécédent de 0 par la fonction h.

Dès lors, les questions 1)a. et 1)b. nous guident vers le théorème de la bijection pour prouver l’existence d’un seul antécédent de 0 par la fonction sur l’intervalle ]0 ;+infini[. Enfin, 1 nous apparaît directement être une solution. Il faut ensuite procéder à une étude usuelle de la fonction g.

Partie II

Les propriétés de l’entropie sont introduites au début de la partie.

À la question 3), l’entropie d’une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [[0;n]] (où n est un entier naturel) existe étant donné qu’il s’agit d’une somme finie.

De même pour l’entropie d’une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètre p (question 4)). Celle-ci vaut -h(p)-h(1-p) ou g(p). Pour majorer g(p) il faut faire appel au tableau de variations de la question 2.

Pour la question 6)a., la variable aléatoire Sn, étant la somme de n variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant toutes la loi de Bernoulli de paramètre p, suit la loi binomiale sur [[0 ;n]] de paramètre p.

La question 6)b. est plus difficile. Pour déterminer P(Zn+1=1) au moment de l’hérédité on peut se ramener à la définition de la variable aléatoire Zn+1. Celle-ci prend la valeur 1 si la variable aléatoire Sn+1 prend une valeur impaire autrement dit si la variable aléatoire Sn + Xn+1 prend une valeur impaire. Enfin, l’évènement « Sn + Xn+1 prend une valeur impaire » se réalise dans deux situations : soit la variable aléatoire Sn prend une valeur impaire et la variable aléatoire Xn+1 prend la valeur 0, soit la variable aléatoire Sn prend une valeur paire et la variable aléatoire Xn+1 prend la valeur 1. Il reste plus qu’à traduire cette idée en langage mathématique et se servir de l’hypothèse de récurrence pour déterminer les probabilités.

La question 6) est très calculatoire et demande de la rigueur.

Partie III

Cette partie introduit la notion d’entropie pour les variables aléatoires à densité.

Pour la question 7), le caractère fini d’une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [a;b] (où a et b sont des réels tel que a<b) implique qu’il n’y aura pas de problème de convergence de l’intégrale. Dès lors, l’entropie de U existe.

La question 8)b est une question de vérification des connaissances du cours. Il s’agit en effet de l’espérance d’une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ>0. La convergence de l’intégrale à la question 8)b se démontre assez facilement et il suffit ensuite de calculer l’entropie.

La question 9)a. est également une question ayant pour objectif de tester la connaissance du cours.

Enfin, la 9)b. se résout sur le modèle des questions 7)b. et 8)b.

Conclusion

Le sujet de cette année est constitué de questions classiques qu’un étudiant de classe préparatoire est censé avoir rencontré au moins une fois pendant sa préparation. On retrouve également quelques questions qui demandent davantage de réflexion.