ECE1 – Analyse #01 : Fonctions usuelles

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Si tu viens de rentrer en première année de prépa ECE, je t’invite à découvrir ce récapitulatif de l’ensemble des fonctions usuelles à connaître ! Je te propose en effet de découvrir le vocabulaire et les formules présents dans tous les exercices d’analyse.

Fonction logarithme et exponentielle

La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ. Elle réalise une bijection de ℝ dans ]0;+∞[. Sa bijection réciproque est la fonction logarithme népérien qui est donc croissante sur ]0;+∞[.

La fonction exponentielle est dérivable sur ℝ et a pour dérivée elle-même.

La fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0 ; +∞[ et a pour dérivée : x ↦1/x.

ln(1) = 0

ln(e) = 1

e0 = 1

e1 = e

Soit a un réel.

ln(ea) = a

Soit b un réel strictement positif.

eln(b) = b

Si a est un réel, ea > 0

Si a est un réel appartenant à l’intervalle ]0 ; 1[, ln(a) < 0

Si a est un réel appartenant à l’intervalle ]1 ; +∞[,ln(a) > 0

Soit a et b deux réels strictement positifs.

ln(a x b) = ln(a) + ln(b)

ln(a / b) = ln(a) – ln(b)

ln(1/a) =  -ln(a)

Soit a et b deux réels.

ea+b = ea x eb

ea-b = ea / eb

e-a = 1 / ea

(ea)b = ea x b

Fonction valeur absolue

La fonction valeur absolue est la fonction x ↦|x| est définie sur ℝ par :

  • |x|= x si x  ≥ 0
  • |x|= -x si x < 0

Cette fonction est strictement décroissante sur ]-∞;0[ et est strictement croissante sur ]0;+∞ [.

Soit a et b deux réels.

|a x b|= |a|x |b|

|a / b|= |a|/ |b|

|a + b| ≤ |a|+ |b| (inégalité triangulaire)

√a2 = |a|

Attention : la fonction valeur absolue n’est pas dérivable en 0.

Fonction partie entière

Soit x un réel. La partie entière de x, notée ⌊x⌋, est le plus grand entier naturel n inférieur ou égal à x. Elle est unique.

On a alors : ⌊x⌋  ≤ x < ⌊x⌋ + 1

Fonction racine carré

La fonction racine carrée est définie sur [0;+∞[. Elle est strictement croissante sur [0;+∞[. Elle est dérivable sur ]0;+∞[, et sa dérivée est x↦1/2√x.

Fonction inverse

La fonction inverse est définie sur ]-∞;0[ et sur ]0;+∞[ . Elle est strictement décroissante sur ]-∞;0[ et sur ]0;+∞[. Elle est dérivable sur ]-∞;0[ et sur ]0;+∞[ et sa dérivée est x ↦ -1/x2.

Fonctions polynomiales, polynômes

Les polynômes sont présents dans les exercices d’analyse et d’algèbre linéaire (en deuxième année). Il est donc indispensable de maîtriser les formules suivantes.

Soit x un réel. ax2+bx+c est un polynôme de second degré (tels que a, b et c sont des réels).

a- Comment déterminer la ou les solutions de l’équation ax2+bx+c=0 (c’est-à-dire déterminer les racines du polynôme) ?

Première étape : Calculer le discriminant noté  Δ (delta) :Δ = b2 – 4ac.

Deuxième étape :

Si Δ < 0, alors l’équation n’admet aucune solution.

Si Δ = 0, alors l’équation admet une unique solution (une racine double) : x0= -b/2a

Si Δ < 0, alors l’équation admet deux solutions : x1= (-b-√Δ)/2a et x2= (-b+√Δ)/2a

b- Comment factoriser un polynôme du second degré ?

Quand le déterminant et les racines ont été déterminés, il est possible de factoriser le polynôme.

 Si Δ = 0, ax2+bx+c = a(x-x0)2

Si Δ > 0, ax2+bx+c = a(x-x1)(x-x2)

 

c- Comment déterminer le signe d’un trinôme ?

Si Δ < 0, ax2+bx+c est du signe de a sur ℝ.

Si Δ = 0, ax2+bx+c est du signe de a sur ℝ et s’annule en x0.

Si Δ < 0, ax2+bx+c est du signe de a sur ]- ∞ ; x1[ et sur ]x2 ;+∞[, du signe de -a sur ]x1 ; x2[   et s’annule en x1 et en x2. 

 

Il est donc indispensable de savoir calculer le discriminant pour factoriser et déterminer le signe d’un polynôme de second degré.

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Antoine Houdant

Étudiant à Grenoble EM après une prépa ECE à Chateaubriand (Rennes), j'interviendrai dans mes matières de prédilection à savoir l'économie et les mathématiques !

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