Les 10 exercices de maths incontournables à faire et à refaire pour cartonner aux concours

Vous ne savez pas vraiment comme vous préparez efficacement pour la date fatidique des concours ? Vous recherchez des exercices pour appliquer votre cours de mathématiques  ? Vous voulez cartonner lors des concours et vous sentir à l’aise lors des épreuves de maths ?

La clé de la réussite est sans aucun doute de bien maîtriser les exercices incontournables du programme.

Cet article est fait pour vous puisqu’il vous dévoile en intégralité notre sélection des 10 exercices les plus classiques et incontournables des concours en prépa HEC toutes filières confondues. Cet article vous fait découvrir ces exercices et vous dévoile leurs corrigés et toutes leurs méthodes très classiques de résolution.

Vous trouverez ci-dessous des liens vers chaque exercice résolu avec l’énoncé du problème et son corrigé. La difficulté de chaque exercice est ici proportionnelle au nombre de symboles ∆ face aux liens.

• La constante d’Euler-Mascheroni (EDHEC 2020) ∆

La constante d’Euler-Mascheroni est la limite d’une suite très classique et récurrente dans les épreuves de maths en prépa HEC. Il est rare de ne pas la croiser chaque année dans les annales de concours.

• Les intégrales “gaussiennes” (Maths II 2004 & 2008) ∆∆

L’analyse de ces intégrales permet de bien maîtriser certaines astuces classiques comme la mise sous forme canonique d’un polynôme du second degré mais également de bien savoir utiliser son cours sur le variables aléatoire à densité.

• Les intégrales de Wallis & la formule de Stirling (EML 2012 & 2018) ∆

Présentes dans d’innombrables sujets de concours, les exercices liés à ces intégrales font intervenir des méthodes aussi classiques que capitales telles que le changement de variable, l’IPP, la convergence d’une série mais il vous faudra également maîtriser parfaitement votre cours sur les équivalents et les DL !

• Le théorème de Riemann-Lebesgue (Maths I 2018) ∆

Le théorème ou lemme de Riemann-Lebesgue est un grand classique de l’analyse et sa preuve utilise de nombreux outils indispensables aux mathématiques tels que la manipulation de valeurs absolues, de l’inégalité triangulaire, de comparaison d’intégrales, du théorème d’encadrement et de la fameuse règle ( f est continue sur un segment => f est bornée et atteint ses bornes ).

• La somme des cos(kx) avec k allant de 0 à n (Maths I 2018) ∆

Il n’est jamais trop tard pour traiter cet exercice. Il vous faudra maîtriser parfaitement vos formules de trigonométrie, les formules de Moivre et d’Eulerainsi que la méthode classique de factorisation par l’angle moitié.

• Matrice de Gram & Décomposition polaire (Maths I 2019) ∆∆∆

Ces deux notions font intervenir d’innombrables méthodes à savoir absolument par cœur ! Citons de manière non exhaustive la caractérisation des formes quadratiques et de leurs liens avec les valeurs propres des matrices associées, la maîtrise dans les calculs de normes, de produits scalaires et de produits matriciels.

• Existence de valeurs propres pour une matrice complexe (Maths I 2013) ∆∆∆

L’intérêt de ce problème est qu’il brasse de nombreuses notions de cours, à la fois les polynômes, les matrices et l’algèbre linéaire classique. Les méthodes utilisées (considération d’une famille liée de matrices complexes, factorisation d’un polynôme, lien entre valeur propre et inversibilité) ainsi que certaines questions classiques comme l’existence d’un polynôme annulateur non constant doivent être maîtrisées par tous les candidats qui aspirent aux meilleures notes aux épreuves de mathématiques.

• Théorème des séries alternées (EML 2016) ∆∆

Pour résoudre ce problème, il vous faudra impérativement maîtriser quelques propriétés fondamentales des suites et des séries mais il vous faudra également mobiliser des connaissances plus théoriques, notamment pour l’exercice 2 et la fameuse démonstration du lemme des suites extraites !

• Rayon spectral & Théorème de Hadamard (ESSEC I 2019) ∆∆∆

Pour réaliser ces deux exercices, vous allez découvrir ou re-découvrir une petite astuce très élégante qui consiste à considérer le maximum des modules des coefficients d’un vecteur propre. Pour venir à bout de ces deux exercices, il vous faudra maîtriser parfaitement votre cours d’algèbre et les notions importantes de valeurs/vecteurs propres.

• Position d’un mobile après n déplacements sur un axe (ESCP I 2000) ∆

Dans ce problème, il vous faudra maîtriser parfaitement le cours sur les probabilités finies mais également la manière de rédiger dans ce genre de situation. Beaucoup de candidats omettent par exemple de citer l’argument d’indépendance lorsqu’il s’agit de montrer que la somme de variables aléatoires suivant une loi de Bernoulli suit une loi binomiale.