Mathématiques E ECRICOME 2021 – Analyse du sujet

Découvre sans plus attendre l’analyse du sujet de Mathématiques ECRICOME 2021 voie E. Épreuve qui a marqué le début des concours pour les prépas ECE.

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Analyse du sujet

Exercice 1

Partie A

La question 1) est assez classique il suffit de poser alpha I3 dans la relation (*) et on remarque directement (ou en développant) que l’ensemble des réels alpha qui suivent cette relation sont a={-2,-1,0}. La question 2) est immédiate car on a des matrices même ordres. Pour la 3) on voit par multiplication que -2 et -1 sont deux valeurs propres de B, on trouve en suite pour b) comme s.e.p pour -2: (1,1,0) et (0,1,1) et pour -1 (1,1,1), c) s’enchaîne ainsi facilement quand on connaît son cours. Pour 3d) on prouve aisément par calcule que D appartient à A et pour B il suffit de remplacer M par D dans la relation (*) de multiplier à gauche par P et à droite par P^-1 pour obtenir B puis par développement puis factorisation on remarque que B appartient A,

Enfin, (on va utiliser 1) et 3d)) pour la 4 comme M est diagonalisable il est existe une matrice N diagonale telle que M=PNP^-1 en utilisant cette relation dans (*) on trouve que N appartient à A comme M est semblable à N alors M appartient aussi à A.

Partie B

La question 5) est directe avec la relation (*). Ensuite, 6) est facile car M est une matrice d’ordre 3 et possède 3 valeurs propres deux à deux distinctes. Puisque, 0 et -2 ne sont pas valeurs propres de M par hypothèse dans 7a) alors par définition M et M+2I3 sont inversibles, et comme M appartient à A la relation (*) nous permet de déduire que M=-I3. Dans le même principe, pour la 7b) on aura par hypothèse respective : M=2I puis M=0. La question 8) en connaissant son cours et sur le même principe que 7a) est facile (or si M n’admet aucune valeur propre M n’appartient pas à A, cf 5)). 

Pour la suite de l’exercice on va raisonner non plus en terme de matrice mais en terme d’endomorphisme. Comment -1 et 2 sont valeurs propres de l’application f de la matrice M dans la base B 9a) est instantanée, idem pour 9b). Puis en partant du fait que M possède uniquement deux valeurs propres distinctes et que M n’est pas diagonalisable on prouve rapidement 9c). En connaissant sur les propriétés des sous espaces propres 9di) est immédiate. Pour 9dii) il suffit de traduire mathématiquement l’hypothèse, comme w≠au+bv, pour a et b des réels alors la famille (u,v,w) est libre (comme u et v forment déjà une famille libre). La 9diii) est un peu plus compliquée mais suppose d’utiliser la définition du noyau pour arriver au résultat attendu. Enfin pour la 10) il suffit d’utiliser les questions traitées au cours de l’exercice et on arrive à l’équivalence attendue et ainsi qu’au spectre de A.

 

Exercice 2

Partie A

Comme 1/(1+t^n) tend vers 1 lorsque t tend vers 0, alors la question 1 est assez rapide. La 1b) est une question de cours il suffit de connaître ses primitives, on passe après à la limite en 0 dans la partie droite de l’égalité et on trouve par croissance comparée que notre intégrale converge et vaut -1. Ensuite, 1c) est immédiate en utilisant le critère d’équivalence. En utilisant les équivalents on trouve une limite nulle en 2a). On utilise ensuite, en 2b) le critère de négligeabilité pour les intégrales convergences pour montrer la convergence de Kn. La question 3) est directe comme Jn et Kn convergent.

Partie B

La question 4a) est une résolution classique d’inégalité. Pas de surprise à la question 4)b), il fallait tout simplement appliquer la formule de cours en oubliant pas de montrer la continuité de la fonction. Grâce à ce qui précède on peut déduire la 4)c). 

La 5)a) est également donnée, une résolution d’inégalité ln(x) ≤ x, qui nous permet ensuite de trouver l’inégalité présente en dessous. Puis grâce à la question 4)a) et 5)a) on arrive à répondre aisément à la question b et c). La limite de Kn et In tend bien évidemment vers 0 , par encadrement comme le prouvait l’inégalité à la 5)b)

Partie C

Une notation un peu plus lourde et des compétences en changement de variable était nécessaire pour répondre à la question 6, très calculatoire. 

La question 7 fait appelle à la loi exponentielle, loi à densité usuelle, pas de piège pour donner la densité à la 7)a). Pour la 7)b) il fallait bien évidemment utiliser la question 6 en remplaçant u par X. 

Cette partie se termine par un Scilab avec une première question classique. Attention le ‘zeros’ renvoie bel et bien à une matrice et non pas à une fonction comme certains ont pu le penser.

La 9)a) c’était une formule à connaître par coeur, que peu de candidats maitrisent, cette question sera donc très rémunératrice. Et enfin pas de surprise pour la dernière question. 

 

Exercice 3 : 

Un exercice qui a du déstabilisé beaucoup de candidats du fait qu’à première vue, aucune loi usuelle apparaissait. Il fallait bien maîtriser les éléments et surtout lire attentivement l’énoncé pour bien saisir les attentes et ne pas se tromper dans les notations. 

Partie A

Une première question qu’il convenait de traduire en français avant de le traduire en évènements pour déduire les trois valeurs demandées. Il fallait être pointilleux au niveau de la rédaction et bien expliquait qu’il s’agissait d’un système complet d’évènement pour ensuite justifier les unions / intersections. 

Un Scilab à la 3)a) assez classique demandant le nombre de lancers nécessaires jusqu’à l’obtention de deux « Piles » consécutifs. 

En revanche la 3)b) moins commune était toutefois assez facile à comprendre, sur un nombre de lancer important, la moyenne tend vers 6. 

Partie B 

Pour la 4)a) et la 4)b), il faut bien traduire les questions en évènement afin de passer en probabilité. De plus une bonne lecture de ses questions nous permet assez facilement de comprendre ce qui est attendu en 4)c). Les plus malins ont du d’abord regarder la 4)c) pour voir comment on pouvait trouver les résultats précédents. 

Question 5 assez classique car on a la forme un+1 qui nous ait donné juste au dessus. Puis de par les résultats précédents et le fait qu’on sache que la suite Un et une probabilité fait qu’elle nécessairement comprise entre 0 et 1. 

La dernière question de cette partie est loin d’être évidente, mais il fallait bien exploité l’ensemble des résultats donnés par l’exercice. 

Partie C 

Pour la question 7 il fallait utiliser les éléments donnés en début de partie C et aussi la question 4)c) qui nous dit comment écrire vn+1. 

En sachant que vn-2 = 1 – un-2, on trouve facilement la justification demandée. 

La question 9 exigeait une récurrence, pas si évidente que ça, mais toute trace était la bienvenue pour grappiller quelques précieux points. 

La fin d’exercice était quelque peu complexe et demandait beaucoup de concentration pour ne pas commettre d’erreurs d’inattention qui pouvaient nous bloquer pour la fin. 

Dorian Zerroudi

Rédacteur chez Mister Prépa, j'ai à coeur d'accompagner un maximum d'étudiants vers la réussite !

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