Et voici la tant attendue analyse du sujet de mathématiques ECRICOME ECS 2022, l’épreuve qui amorce la série d’épreuves de la banque ECRICOME. Cette épreuve est très importante puisqu’elle a un coefficient oscillant entre 5 et 6 pour chacune des écoles de la banque.
Autrement dit, elle influe pour 20 à 25% de la note finale ce qui est non négligeable si l’on envisage une admissibilité dans l’une des écoles d’ECRICOME à savoir : NEOMA, KEDGE, RSB, MBS ou EM Strasbourg.
Souvent jugée plus complexe que les maths emlyon ou les maths EDHEC, l’épreuve de maths ECRICOME est difficile à finir pour les étudiants de filière ECS tant le sujet est dense et le stress est important puisqu’il s’agit de la première épreuve des concours 2022.
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Analyse du sujet de mathématiques ECRICOME ECS 2022
On retrouve la formation habituelle de l’épreuve Ecricome : 2 exercices et un problème. Le sujet présente beaucoup de questions très classiques et donc très abordables, et évidemment quelques surprises, ou questions plus compliquées pour que ceux qui le peuvent se démarquent. Le sujet était assez long, mais une bonne méthodologie permettait d’aborder une grande majorité des questions en 4h.
EXERCICE 1 : [série exponentielle]
Il était intéressant de traiter cet exercice en premier car il était très classique. C’est une manière de se rassurer en faisant une partie du sujet. Il fallait traiter cet exercice en moins d’une heure.
La question 1
a) : [récurrence]
Question plutôt facile pour se mettre en jambe, on a t(k)(x)=x/k . t(k-1)(x)
b) : [scilab]
C’est une boucle de récurrence. Il suffisait de reprendre le résultat de la question précédente.
t = x /k .t
La question 2 : [théorème de la bijection]
Il est continue et strictement monotone sur R+ alors, pour tout entier n strictement positif , il existe une unique solution à l’équation.
La question 3 : [convergence série exponentielle]
Méthode du cours pour montrer qu’une série exponentielle converge
La question 4 : [recherche de limite par encadrement]
La question 5 : [ formule de Taylor ]
a) montrer qu’il admet un maximum ( ln (a) ) et un minimum (K minorant)
b) Inégalité de Taylor-Lagrange
c) utilisation des DL classique
La question 6 : [ formule de Taylor ]
a) formule de Taylor-Lagrange avec :
f(x) = exp(x) et a = 0
b) il fallait combiner le résultat de la question 6a) et de la question 5c) pour obtenir cette limite.
La question 7 :
a) Formule de Taylor-Lagrange appliquée à n+1 pour f(x) = exp (x) et a = 0
b) Remplacer x par u(n) et calcul des limites.
Car fn(Un) tend vers a, et utilisation du résultat de la question 5c) pour la négligeabilité.
c) Il fallait utiliser le résultat de a question 6b) puis jouer avec les équivalents sans les additionner !!
Pour la limite, il suffisait de calculer la limite du membre de droite pour avoir, par équivalence en plus l’infini, la limite demandée.
d) Il fallait ici partir de la limite, pour ne pas avoir à faire de bêtises avec les équivalents.
EXERCICE 2 : [algèbre linéaire]
Cet exercice pouvait sembler plus délicat car il traite d’une partie du programme souvent moins facile pour les étudiants. Cependant avec une bonne méthode et de la rigueur il pouvait être traité rapidement.
La question 1 : [calculs de valeurs propres ]
a) calcul classique de valeurs propres et vecteurs propres
b) trace = 0, or ici la somme des valeurs propres n’est pas 0. (2-1 =/= 0) . Il y a donc une troisième valeur propre.
La question 2 : [ inclusion ]
On veut montrer que si x appartient a ker(f+id) , alors x appartient à ker ((f+id)^2).
Il suffisait de développer le calcul :
Puis montrer que ker (f+id)^ 2) n’est pas inclus dans ker (f+id)
La question 3 : [ somme directe]
Pour montrer que les deux ensembles étaient en somme directe il fallait montrer que la somme des dimensions des deux ensembles valait 3 et que l’intersection des deux était nulle.
La question 4 : [stabilité ]
Soit x appartient à F, montrer que f(x) appartient à F et de même pour G.
La question 5 : [
Il suffisait de calculer P(f) pour trouver que P(f) était l’endomorphisme nul.
La question 6 :
Il fallait montrer l’égalité.
La question 7 :
simple calcul pour la a qui demandait un peu de rigueur.
La question 8
De même, simple calcul.
La question 9
On a montré une inclusion dans un sens (question 7) puis dans l’autre sens (question 8). On peut en conclure une égalité par double inclusion.
La question 10
Cette question demandait simplement de connaître la définition d’un projecteur. Grace aux questions précédentes on avait les éléments pour répondre : somme égale à l’identité, commutation nulle.
La question 11
Cette question traite d’une partie du programme souvent détestée par les étudiants. Il fallait montrer que x’’=pi2(x) avec x’’ appartient à G.
Pi1 était le projecteur de F parallèlement à G.
La question 13
Calcul de la troisième valeur propre, on pouvait utiliser la trace, car on sait qu’elle est égale à 0.
La question 14
Simple calcul, ce genre de question calculatrice est à laisser pour la fin si on a le temps, car elles peuvent faire perdre beaucoup de temps et ne pas rapporter tant de points que ça.
PROBLEME [Probabilités]
Le problème était intéressant et abordait les probabilités, non abordées depuis le début du sujet. C’est un problème assez classique qui pouvait laisser les candidats montrer toutes leurs compétences.
PARTIE I [loi Gumbel]
La question 1 :
a) Une fonction est C² lorsque sa dérivée première est continue et dérivable et sa dérivée seconde est continue. Puis calcul de dérivée sachant que la dérivée d’exponentiel u est u’.exp(u)
b) La convexité s’obtient par la dérivée deuxième de la fonction. Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I. La fonction f est convexe sur I si sa dérivée f ‘ est croissante sur I, soit f »(x) ≥ 0 pour tout x de I. La fonction f est concave sur I si sa dérivée f ‘ est décroissante sur I, soit f »(x) ≤ 0 pour tout x de I.
c) Montrer que la fonction est continue et strictement monotone sur l’intervalle.
La question 2 :
f est une densité de probabilité si :
- f est continue et positive ou nulle sur R.
- L’intégrale de moins l’infini à plus l’infini vaut 1.
Puis montrer que F’=f
La question 3 :
Z est une variable aléatoire qui suit la loi de Gumbel de paramètre (0,1) donc telle que :
F(x) = exp(-exp(-x)
Puis calcul de linéarité qui nous faisait retomber sur une loi de Gumbel de paramètres mu, a.
La question 4 :
a) il fallait tout simplement utiliser la fonction de répartition.
P(Y<x) = P(-ln(-ln(U))<x) puis passer le ln de l’autre coté de l’inégalité pour obtenir une loi de Gumbel de paramètre (0,1) = P(U<-exp(-exp(-x))
b) ici il fallait utiliser la question précédente, pour rentrer la loi uniforme dans scilab : y=grand(1,1, « uni »,0,1), puis appliquer la fonction f(x) = -ln((-ln(u)) et afficher le résultat ! Encore des points offerts par scilab ! Même si on avait pas répondu à la question précédente on pouvait faire celle-ci.
La question 5 :
a) Il y avait un problème de convergence en 0 et en plus l’infini à lever.
b) On applique le changement de variable t=exp(-u) , ce qui donne u=-ln(t).
Avec un tel changement de variable on obtient l’intégrale dont on a montré la convergence lors de la question 5a). Il fallait faire attention aux erreurs de signes dans un tel calcul et ne pas oublier le changement des bornes de l’intégrale. Cette question pouvait sembler compliquée, mais encore une fois avec de la rigueur elle se faisait très bien !
c) On se rappelle que Z est une variable aléatoire qui suit la loi de Gumbel de paramètre (0,1). On applique le changement de variable suggéré par le sujet.
d) Utilisation du théorème de transfert.
La question 6 :
a) On utilise la fonction de répartition.
b) On pouvait remplacer par A la borne infinie, puis calculer l’intégrale. De cette manière on trouvait un résultat, on pouvait donc conclure que l’intégrale convergeait.
c) changement de variable classique, il suffisait d’être rigoureux pour retomber sur l’intégrale précédente et conclure.
d) décomposition classique des étapes pour montrer qu’une fonction est une densité. Puis calcul de l’intégrale.
PARTIE II [convergences et estimation]
La question 7
a) c’est une propriété du cours sur les convergences, il suffisait d’appliquer la démonstration vue en classe.
b) On pouvait calculer les espérances et variances, sans oublier de parler de la linéarité de l’espérance et de l’indépendance des variables pour la variance. Chacune des 4 limites tendent vers 0. On peut en conclure que C et M convergent en probabilité.
c) Il fallait montrer que le biais de An tendait vers 0 ainsi que sa variance.
d) Si An est un estimateur convergeant de a alors f(An) est un estimateur convergeant de f(a).
La question 8 :
a) application de l’algorithme vu en cours d’estimation
b) convergence
