Mathématiques ECRICOME ECT – Analyse du Sujet

Découvrez sans plus attendre l’analyse du sujet des mathématiques ECRICOME 2022, pour la filière ECT. Cette épreuve tant redoutée par les étudiants de classe préparatoire ! Pour rappel, le coefficient total des écrits pour ECRICOME est de 25.

L’épreuve de mathématiques de la filière ECT influe énormément sur la note finale ce qui est significatif si l’on souhaite être admis dans l’une des écoles d’ECRICOME à savoir : NEOMA, KEDGE, RSB, MBS ou EM Strasbourg. 

 

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Analyse du sujet de mathématiques ECRICOME ECT 2022

EXERCICE 1:

Nous avons un exercice qui commence par de l’algèbre en Partie 1 puis de la probabilité discrète en Partie 2. 

Partie 1: Calcul matriciel et suites

1. (a) calcul d’un produit de matrices simple avec P et Q donnés

    (b) on retrouve que PQ = 3I (matrice identité). ce qui nous permet de déduire que P* ⅓Q = I

           d’où l’inversibilité de P et P⁻¹=⅓Q

2. (a) On utilise le système donné au début de l’énoncé avec a(n+1), b(n+1), c(n+1). On retrouve très facilement l’égalité X(n+1) = MX(n)

(b) Récurrence classique sans difficulté

Dans l’hérédité, on suppose qu’il existe un rang n tel que notre propriété est vraie. On montre qu’elle est vraie au rang n+1

3. (a) Calcul de matrices

(b) on développe le polynôme de la (a) pour pouvoir utiliser le cours sur le polynôme annulateur et les valeurs propres possibles

4. (a) On a M, P et P⁻¹. Donc D = P⁻¹MP . Il reste à faire le calcul de D.

(b) Donner = sans justification. La réponse est M^n = P*Dⁿ*P⁻¹

c) Là on calcule Mⁿ grâce à ce qu’on a trouvé en (b), sachant que D est une matrice diagonale. Pour avoir Dⁿ, il suffit de mettre à la puissance n ses éléments diagonaux.

(d) On utilise la 2. (b) qui dit que Xn= Mⁿ X₀

(e) On calcule les limites dans la (d) sachant que lim 2/4ⁿ = lim 1/4ⁿ= 0 

5.  Scilab

b=0

while a>0,334 & b<0,333

n= n+1

b= 1/3*(1-1/4^n)

disp (n)

Partie B: Application à un jeu de hasard

6. Le pion est sur la case zéro au début du jeu, donc P(A₀)=1 et les deux autres cas ont des probabilités nulles car événements impossibles.

Pour le 1er lancer, nous sommes en équiprobabilité. Donc toutes les probas sont égales à ¼

7. (a) la probabilité de tomber sur 0 au rang n+1 sachant qu’on était déjà sur 0 au rang n est la probabilité de tirer le chiffre 0 ou 3. Donc 1/4 + 1/4 = 1/2

Probabilité d’être sur 0 en n+1 sachant qu’on était sur 1 en n est ¼

Probabilité d’être sur 0 en n+1 sachant qu’on était sur 2 en n est ¼

(b) Formule des probabilités totales

(c) On se retrouve avec quelque chose qui ressemble au système de début d’exercice, ce qui nous aide à conclure.

8. En jouant un grand nombre de fois:

  • La probabilité de tomber sur la case 0 tend vers ⅓ 
  • La probabilité de tomber sur la case 1 tend vers ⅓ 
  • La probabilité de tomber sur la case 2 tend vers ⅓

 

EXERCICE 2 :

Nous avons un exercice d’analyse qui nécessite de maîtriser son cours.

  1. (a) on utilise l’équivalent ln(x) ∾ x en 0 

(b) pas de difficulté, c’est +∞

(c) il faut voir la lim de f(x)/x. Ça tend également vers +∞. donc Cf admet une branche parabolique d’axe (Oy)

2. (a) dérivée première

(b) dérivée seconde

(c) la dérivée seconde nous permet d’avoir les variations de f’

3. (a) calcul grâce à la formule de 2. (a)

Le signe de f’(x) se retrouve selon le signe de f’(0)

(b) vous avez le signe de f’, donc on déduit les variations de f

4. traçage d’après le tableau de variations

5. IPP avec u= f(x) et v’= 1

(b) Mettre tout d’un même côté et vérifier que c’est nul

(c) on remplace ce qu’il y a dans l’intégrale de 5. (a) par l’égalité de 5.(b)

(d) calcul de 5.(a)

6. Scilab

y= integrate (x^n*log(1+x),x,0,1)

for n=1:50

fplot2d(x, y)

7. (a) In représente l’aire en dessous de la courbe de fn

(b) d’après le graphique, on peut conjecturer que In converge vers 1

8. (a) Pour l’inégalité de gauche, c’est évident car tout est positif.

Pour l’inégalité de droite, on fonctionne par composition en commençant par 1+x ≤ 2

(b) on intègre l’inégalité de 8.(a)

(c) par encadrement dans l’inégalité de 8.(b), In converge vers 0

 

EXERCICE 3 : 

  1. Pour 0, on montre que x/2a² tend vers 0 quand x tend vers 0

Pour 2a, on regarde si x/2a² tend vers 0 quand x tend vers 2a

2. Il faut montrer que:

  • f est positive sur ℝ
  • f est continue sur ℝ privé d’un nombre fini de points
  • ∫fdx = 1

3.(a) on intègre f de -∞ à x selon les valeurs de x (x<0, 0≤x≤2a, x>2a)

(b) a/2 <X≤ a

On va donc utiliser la deuxième expression de f, qu’on va intégrer entre a/2 et a

4. formule de l’espérance avec l’intégrale = ∫xf(x)dx .

5. formule de l’espérance de X² avec l’intégrale: ∫x²f(x)dx 

Pour utiliser la formule de Huyghens pour en déduire la variance

6. (a) calcul de fonction de répartition. On utilisera la fonction de répartition de X

(b) selon ce qu’on trouve

(c) rand()*4*a^2 simule une loi uniforme entre 0 et 4a²

(d)  Scilab

Y= rand()*4*a^2

X=sqrt(Y)

7. (a) C’est un estimateur car c’est une fonction d’un échantillon de variables aléatoires qui ne dépend pas de a.

Pour montrer que c’est sans biais, on montre que l’espérance de Tn est égale à a

(b) On dit que espérance de Tn² existe. On calcule le risque quadratique qui est égal à Espérance((Tn-a)²)

(c) Cet algorithme se base sur la méthode de Monte Carlo pour estimer l’espérance a

Le vecteur X est connu de l’algorithme d’après l’énoncé.

T_n= 3/4n*sum(X)

disp(T_n/n)

Lina Hrabi

Étudiante à l'ESCP BS depuis Septembre 2021 après une classe préparatoire ECS à Thiers (Marseille)

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