Retrouve dans cet article l’analyse du sujet de Mathématiques S EMLYON tombé au concours 2022 pour les candidats de la voie scientifique (ECS).
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L’analyse du sujet de mathématiques EMLYON ECS 202
Analyse Générale:
Le sujet n’oublie aucune partie du programme (Analyse, Algèbre et Probabilités). La difficulté est moyenne: nous avons des questions classiques et faisables, ce qui permet de gratter des points quelque soit son niveau mais il y a également des questions un peu plus dures plus on avance dans les parties.
Problème 1:
Comme d’habitude à l’épreuve emlyon, on a un exercice classique qui fait un peu le tour de l’algèbre (produit scalaire, matrices, valeurs propres, projecteurs). Avec beaucoup de calculs, c’est une des spécificités de cette épreuve.
Partie A: Mise en place d’un exemple
- a. on regarde les colonnes de A, on voit que la colonne 1 x -1 + la colonne 2 donne la colonne 3. On a donc que A est non inversible et son rang est égal à 2
b. calcul matriciel et vérification du polynôme annulateur
c. on a un polynôme annulateur et donc on sait que les valeurs propres de A sont incluses dans les racines de ce polynôme. On vérifie qu’elles sont bien valeurs propres en montrant que (A-λI) est non inversible.
Si on a exactement 3 valeurs propres, on conclue que A est diagonalisable.
2. a. si la transposée de B est égale à B, alors B est symétrique et donc diagonalisable. C’est le cas ici
b. i. On fait le calcul du produit de la transposée de R par R. Cela nous donne l’identité et permet de justifier que R est orthogonale
ii. Calcul matriciel
Partie B: Valeurs singulières d’une matrice
3.
La deuxième égalité s’obtient par la première en remplaçant y par f(x).
4. a. x appartient au Ker(h) donc h(x)=0 et donc d’après la deuxième égalité de 4.a, f(x)= 0 => x appartient au Ker(f)
b. On a montré la première inclusion. L’inclusion inverse se montre par le fait que h=foh.
On utilise le théorème du rang pour la deuxième partie de la question.
5.a on montre que transposée (transposée M*M) = transposée de M *M => donc g o f est symétrique donc diagonalisable dans une bon. Le reste de la question c’est le cours.
b. on utilise la deuxième égalité de la 4.a en posant h(x)= λx
6. La matrice de passage d’une bon à une bon est orthogonale. tMM c’est h, donc d’après le cours et 5.a, on a l’égalité demandée
7. M est symétrique, donc diagonalisable.
8. rg(h)= r d’après 4.b. Donc la matrice D est aussi de rang r. Donc elle admet r coefficients diagonaux non nuls.
9.a et b/10. Questions qui reprennent énormément le cours sur les bases orthonormées, les matrices orthogonales et les changements de bases
11. Pas de difficulté pour cette question. On s’y retrouve avec les matrices de vecteurs propres et la matrice diagonale des valeurs propres.
Partie C:
12. Si M est inversible, on inverse simplement la matrice ∆ qui nous donne directement M⁺
13. a. Calcul avec les expressions de matrices données.
b. Ne pas oublier de montrer que c’est un projecteur avant de montrer que c’est orthogonal
c. C’est le même rang que la matrice ∆ * Diag(1/sigma1,….,1/sigmar) = r.
L’égalité entre les images se fait par une inclusion puis une égalité de dimension
Problème 2:
L’exercice est assez calculatoire. Il traite à la fois de l’analyse et des probabilités avec l’expérience en Partie C. Une partie Scilab à 2 questions est aussi présente.
Partie A: Quelques propriétés sur les nombres de Catalan
- calcul simple avec les coefficients binomiaux
- a. On peut utiliser la méthode du développement pour retrouver l’égalité.
b. Le coefficient binomial en n+1 est strictement inférieur à celui en n => Cn est un entier naturel non nul
3. Une récurrence est possible
4. On simule Cn à l’aide d’une simulation de coefficients binomiaux. On utilisera la formule donné en énoncé.
5. a. C(n+1) – C(n) > 0
b. On suppose qu’elle converge, id est qu’elle est majorée
6.a Etude de « fonctions »
b. On utilise l’égalité de la 3. et la 6.a
7. a. On utilise l’indication pour le changement d’indice
b. On extrait les termes en n+1 de T(n+1) et S(n+1) et on utilise la formule de 3.
c. Récurrence comme indiqué
8. a. On majore par une série convergente à l’aide de 6.b
b. Calcul avec l’aide donnée
c. g(x) = 2x f(x) et on a f(x)^2 par la b.
Partie B:
9.a. On utilise la formule: cos²a = (1+cos(2a))/2
b. Changement de variable
10. On vérifie les conditions de la densité: positive sur R, continue sur R privé d’un nombre fini de points, l’intégrale sur R est égale à 1
11. a. X est fini donc admet des moments d’ordre n. Les deux égalités à montrer se font par parité et imparité de φ
b. i. u0 = 1
ii= IPP
iii. on extrait Un de ii.et on se retrouve avec la formule de la question 3.
Partie C:
12.a Rédaction d’un script avec la boucle if/then
13. T est égal au rang où on a le même nombre de piles et de face, donc c’est forcément un rang pair.
14. a. Il faut bien lire le texte. Cette question peut se justifier en français d’après l’énoncé.
b. i. Récurrence possible
ii. déduction par rapport à la question 13.
iii. On conclue grâce à la 7.c
