Analyse du sujet de Maths Approfondies ECRICOME 2024

Ceci est un sujet Ecricome classique avec 2 exercices puis un problème plus compliqué

Le premier exercice est un exercice d’analyse bien construit qui compare différents approximateurs. Il permet de trouver un « joli » résultat.

Le deuxième exercice est déjà plus compliqué et couvre la partie « Algèbre » du programme maths approfondies. Il traite cependant d’un problème bien connu, à savoir l’interpolation de Lagrange.

Enfin le problème concerne la loi de Cauchy et permet de faire une différence significative entre les bons et les excellents candidats.

La tendance des sujets à rallonge se poursuit et il ne fallait évidemment pas faire tout le sujet pour espérer avoir une très bonne note.

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Exercice 1 – Maths Approfondies ECRICOME 2024

1)a)Application directe du critère de Riemann et le tour est joué

1)b) Utiliser la décroissance de la fonction 1/(t**2) puis construire une double inégalité

2) B) Sommer l’inégalité 2)A) pour n allant de N+1 à + l’infini

3) |S(N)-S|= R(N) (telescopie) de fait on peut utiliser l’inégalité de 2) B)

4) a) C’est une question difficile ici ! Il faut partir du fait que |Tn-S| = |Sn-S+1/(n+1)| puis injecter le fait que Rn = S-Sn pour aboutir sur l’inégalité

4) b) Utiliser les valeurs des nombres carrés donnés au tout début de l’exercice 1

5) a) en + l’infini, n+1, n+2, …, n+p sont équivalents à n, donc un(p) est équivalent à 1/(n**(p+1)

5)b) Immédiat avec le critère de Riemann

6)a) 1 et -1 conviennent ici

6)b) La somme se telescope et il ne reste plus que U(1) = 1/n

7)a) Cette question est calculatoire, il suffit de développer les termes et de les réarranger, rien de bien méchant

7)b) Une fois que le terme général est trouvé (question 7)a)), il est facile de montrer cette égalité

8)a) Ici c’est une récurrence classique mais attention à ne pas se perdre lors de l’initialisation qui est l’étape la plus dure. Notre n est ici un entier naturel non nul fixé

8)b) On reprend l’égalité précédente pour utiliser le critère de Riemann, cela permet de justifier la convergence dans l’égalité à montrer

9) Il s’agit de répéter le procédé de la question 2 ici en commençant par l’étape réalisée en 2)a) afin de trouver la double inégalité puis en appliquant le raisonnement de la 2)b) pour retomber sur l’inégalité à montrer

10) Remplacer S par l’écriture trouvée dans la question 8)b) puis simplifier la valeur absolue. Trouver N2 n’est pas très compliqué une fois cela effectué.

11) On trouve une erreur très faible pour l’approximation de S par Un ce qui se comprend par les valeurs de N trouvées aux questions 3, 4)b) et 10. On en conclut que Un est bien le meilleur approximateur de S

Maths Approfondies ECRICOME 2024 – Exercice 2 

Partie I

1)a) Montrer la linéarité n’est rien de bien méchant. Pour montrer l’injectivité, on montrer que si P appartient au noyau, alors P(x0), P(x1) … P(xn) sont nuls. Le polynôme de degré n admettant n+1 racines, alors ce polynôme est nul, d’où l’injectivité

1)b) L’existence est immédiate par définition de la fonction Phi, l’unicité se justifie par l’injectivité de la fonction

2) Analyse à venir

3) Il s’agit de trouver ces valeurs pour comprendre l’interpolation de Lagrange. Par exemple pour L0 on a pour tout j appartenant à [0,3], L0(xj) vaut :

-1 si j=0

0 sinon

4) Encore une question assez difficile, il faut montrer le fait que Qi et Li coincident sur n+1 points

5) On peut montrer aisément : la symétrie, la linéarité, la positivité et le fait que la fonction soit définie positive

6) Il faut commencer par montrer que c’est une famille libre de n+1 vecteurs de Rn[X] en posant Q = ΣakLk

Prenons alors i≠j et étudions le produit scalaire de Li et Lj pour montrer que la base est orthogonale (et même orthornormale !)

7) Encore une fois, jouons sur le fait que Lk(xi) vaut :

1 si k=i

0 sinon

En posant P = ΣλkLk, on trouve alors que P = ΣP(xk)Lk

Partie II

8)a) Il faut calculer rigoureusement les valeurs

8)b) On y arrive dsans trop de difficulté, par exemple pour i=1 on a (N0(x0),…,N0(x3)) = (1,1,1,1)

8)c) On calcule le déterminant qui est différent de 0 et on vérifie que M*M**(-1) = I

9) On refait la même méthode qu’à la question 6

10)a) Puisque L est une base de Rn[X], on peut exprimer N0 en fonction des différents Lk. En appliquant l’égalité obtenue aux différents xi (où i appartient à [0,n]) on parvient à montrer l’égalité souhaitée