Maths E EDHEC 2022 – Analyse du sujet

Découvrez ici l’analyse du sujet de mathématiques E EDHEC BS du concours 2022. C’est une épreuve à fort coefficient pour les candidats ECE.

 

Cette année encore, le sujet de l’EDHEC est marqué par son caractère classique. Avec sa structure traditionnelle de 3 exercices et 1 problème, le sujet invitait les candidats à démontrer leur capacité à répondre à des questions majoritairement très classiques de la prépa.

Cela a rendu ce sujet particulièrement abordable pour de nombreux candidats même s’il était, comme à l’accoutumée, assez long. Une fois de plus, les critères discriminants seront certainement la qualité de la rédaction, le nombre de questions traitées, sans oublier les questions Scilab a priori très coefficientées.

 

EXERCICE 1

1) La question était classique, il fallait démontrer sans difficulté la linéarité ainsi que le côté “endo” de l’application.

2) a) De rapides calculs nous permettent d’affirmer que :

φ(K1) = K3 – K2

φ(K2) = K4 – K1

φ(K3) = K1 – K4

φ(K4) = K2 – K3

2) b) On comprend l’étrange formulation de la question en observant les résultats obtenus en 2) a) :

Il était en effet sûrement attendu que l’on explicite le caractère symétrique de la matrice avant de la construire.

2) c) A est symétrique d’après 2) b), donc φ est diagonalisable.

3) a) On observe les relations entre les colonnes de A suivantes :

C1 = -C4 ≠ 0  ;  C2 = -C3 ≠ 0

Or, C1 et C2 ne sont pas colinéaires.

Donc rg(A) = 2 et rg(φ) = 2

Donc (K3 – K2, K4 – K1) est une base de Im(φ).

3) b) On applique le théorème du rang.

Ainsi, Dim(Ker(φ)) = 2

Or, I et J ne sont pas colinéaires.

Donc (I,J) est une base de Ker(φ).

4) a) Les calculs ne sont pas compliqués, il faut simplement éviter les erreurs pour bien retomber sur : A3 – 4A = 0

4) b) Encore une question classique : il s’agit d’utiliser la 4) a) grâce au polynôme annulateur de A trouvé.

Les valeurs propres possibles de φ sont -2, 0 et 2.

5) Bien que les barèmes des épreuves ne soient pas publics, la rumeur selon laquelle les questions Scilab sont valorisées est très certainement vraie. Il y a donc fort à parier que cette question ne fait pas exception et saura récompenser les étudiants l’ayant traitée.

On comprend que le programme teste les valeurs propres potentielles -2 et 2 de φ en renvoyant le rang de A – 2I et de A + 2I.

Ainsi, rg(A – 2I) ≠ 4 donc A – 2I n’est pas inversible donc 2 est une valeur propre de φ.

De même, -2 est une valeur propre de φ.

D’après 4) b), on a trouvé toutes les valeurs propres non nulles de φ.

En outre, la dimension de leur sous-espace propre associé est 3.

6) a) La résolution de systèmes se fait sans piège.

6) b) Ici, on peut commencer par le raisonnement classique par l’absurde pour montrer que 0 n’est pas valeur propre de φ.

Ainsi, d’après 4) b) et 5), Sp(φ) = {-2, 2}

Enfin, les sous-espaces propres de φ peuvent être directement tirés de la 6) a).

 

EXERCICE 2

 

1) Le script à compléter est assez classique et rapportera beaucoup de points à ceux qui l’ont rempli sans erreur.

X = 0

while X < n & rand() <= p

     X = X + 1

 

2) a) Il s’agit là d’être rigoureux dans son explication en reprenant l’énoncé.

2) b) Pas de difficulté notable :

P([Xn = 0]) = q

2) c) Bien que le résultat soit facilement trouvable, il est important ici de penser à justifier l’égalité d’événements et de mentionner l’utilisation de la Formule des probabilités composées :

P([Xn = n]) = pn

2) d) Le raisonnement est similaire mais il ne faut pas oublier que pour que [Xn = k] se réalise, il faut que Rk+1 ne se réalise pas.

Ainsi, P([Xn = k]) = q*pk

Valable aussi pour k = 0

3) En utilisant la formule pour les sommes de suites géométriques, on trouve 1 grâce aux questions 2) c) et 2) d).

4) a) Le support de Xn étant fini, Xn admet une espérance.

On tombe sur une somme non simplifiable : pqΣk∈[|1;n-1|] kpk-1 + pn

4) b) Mais en l’observant de plus près, on reconnaît le pattern de la série géométrique dérivée.

En outre, 0 < p < 1

D’où l’existence de la limite de l’espérance, égale à : 1/q

5) a) Il s’agit ici de procéder pareillement qu’en 2) d) en justifiant bien le changement attendu.

5) b) Les 2 dernières questions introduisent un sujet peut être un peu plus complexe car moins souvent traité par les candidats.

5 c) Il s’agissait de conclure sur une question plus difficile comme souvent en fin d’exercice.

 

EXERCICE 3

 

1) On commence avec une question classique d’étude de fonction.

 

2) À l’aide de la question précédente, on peut encadrer la fonction f entre 0 et 1 pour ensuite l’intégrer et la multiplier par 1/n.

 

3) On utilise l’encadrement précédent pour montrer la convergence de la série.

 

4) a) Comme la série de terme générale Un converge alors la somme admet une limite finie et donc la suite Sn admet une limite finie et converge.

 

4) b) Ce calcul était classique et abordable.

 

4) c) On calcule Sn+1 – Sn et en utilisant la question 2, on montre que le résultat (Un+1) est positif.

 

5) a) Le calcul de la première partie de la question est une fois de plus assez classique. Ensuite on remplace l’expression de Uk  par ce qui a été trouvé avant et on calcule l’intégrale.

 

5) b) On somme la relation précédente puis on fait un télescopage qui nous fait apparaître le ln(n+1).

 

6) a) En utilisant l’expression de Sn trouvée en 5) b), on trouve que :

Tn = Sn-1 + 1/n

Donc d’après la 4) a), (Tn) converge et sa limite vaut γ.

 

6) b) On utilise l’inégalité des accroissements finis. 

 

6) c) D’après 4), (Sn) est croissante et converge vers γ et d’après 6), (Tn) est décroissante et converge vers γ.

Ainsi, Sn < γ < Tn

 

7) a) Cela représente une valeur approchée de γ.

 

7) b) Tn – Sn = ln(n + 1) – ln(n)

while s > 10^(-3)

    n = n + 1

    s = s + log(n + 1) – log(n) 

 

PROBLEME

 

Partie 1 :

 

1) a) Cette question est assez classique.

 

1) b) On intègre xp et on dérive (1-x)q  et on fait l’IPP.

 

2) a) On fait le calcul puis on remplace dans l’expression précédente I(p+q,0) par le résultat.

 

2) b) Cette question est une fois de plus assez classique.

 

Partie 2 :

 

3) Comme à l’accoutumée, il suffit de démontrer sans piège la continuité et  positivité de la fonction et que l’intégrale de  -∞ à +∞ vaut 1.

 

4) Il faut remplacer et reconnaître à travers la densité la loi X0.

 

5) a) La question guide assez bien les candidats.

 

5) b) Le raisonnement est le même que précédemment.

 

5) c) Il est ici question de l’application de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

 

 

 

Partie 3

 

6) On remplace n par 0 et on calcule l’intégrale sans trop de difficulté.

 

7) a) Il s’agit ici d’un calcul d’intégral classique.

 

7) b) Comme indiqué, on effectue le changement de variable pour trouver le résultat.

 

7) c) Il suffit de remplacer x par ½ dans l’expression qui précède et de calculer.

 

8) a) Question classique sur la dérivabilité.

 

8) b) La distinction de cas à faire étant donnée, la difficulté de la question a été limitée.

 

9) Pour cette question, l’énoncé est assez clair et donne les indications nécessaires pour y répondre. Normalement, il n’y a pas de difficultés.

 

10) a) Il s’agit d’un calcul de dérivée classique.

 

10) b) Il faut étudier f’’.

 

10) c) Regrouper toutes les informations trouvées afin de tracer la courbe la plus précise. Nul doute que cette question sera très coefficientée.

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