Maths ECT ESCP 2023 – Analyse du sujet

A première vue, le sujet ne semble pas trop long, et les notions abordées semblent plutôt classiques.  Le sujet est divisée en quatre exercices de longueur sensiblement équivalentes.

EXERCICE 1 

1. A*A= 2I+A d’après un calcul rapide. Un tel polynôme est P(X)=X^2-X-2
   
   
2. a) Les racines de P sont -1 et 2. Ce sont donc les valeurs propres possibles de A.
   
   

   b) 0 n’est donc pas valeur propre, donc A est inversible. En utilisant un pivot de gauss, on trouve A^(-1)= ½ A -I
   
   

3. a) montrer que AU= xU, avec x un réel, de même pour AV et AW. On retrouve -1 et 2 pour les valeurs de x.
   
   

   b) du calcul matriciel, c’est accessible.
   
   

   c) utiliser le résultat du produit matriciel.
   
   

   d) D’après les questions précédentes, il existe D diagonale et Q inversible telle que A= QDQ^(-1). C’est la définition d’une matrice diagonalisable.
   
   

4. a) Récurrence classique. Pour l’hérédité, A^(n+1) = QD^nQ^(-1)QDQ^(-1) car A = QDQ^(-1) donc A^( n+1)= QD^(n+1)Q^(-1)
   
   

   b) c’est un calcul matriciel classique. Il faut se rappeler que D est diagonale donc D^(n) = diag ( 2^n, (-1)^n, (-1)^n)
   
   

5. a) on reconnaît une loi uniforme de paramètre ⅓ pour X1 car on est en situation d’équiprobabilité. Les 3 probabilités se trouvent en écrivant les évènements.
   
   

   b) on peut prendre le sce (Xn=2), (Xn=3), (Xn=1). Or, si Xn=1 alors Xn+1 ne l’est pas car le jeton ne peut pas rester sur le même sommet. Les ½ se trouvent en utilisant l’indépendance et l’équiprobabilité.
   
   

   c) la matrice se déduit immédiatement du calcul.

    

   d) utiliser la 5)a)
   
   

   e) Rien d’inaccessible encore une fois. Pour l’hérédité, L(n+1)= L(n)B = L(0) B^n B = L(0) B^(n+1).
   
   

   f) utiliser le coefficient de proportionnalité entre B et A pour trouver la loi de Xn.
   
   

Bilan de l’exercice 1 : Exercice facile qui a dû favoriser les élèves qui connaissaient bien leur cours. Seule la dernière question a pu poser plus de problème.

EXERCICE 2 

1. f est positive, continue sauf eventuellement en 0 ou en 1, et l integrale de -infini a +infini vaut 1. (l’intégrale de 0 a 1 dans notre cas).
   
   
   
2. a) A priori, on trouve 8/15 pour l’espérance. b) un peu long en calcul mais faisable.
   
   
3. Calculer l’intégrale de -infini à x et distinguer en fonction des valeurs de x.
   
   
4. a) cours.
   
   

   b) utiliser l’indépendance de U et de V, ce qui transforme l’intersection déduite du min en produit. On ne peut le faire que pour P(M>x) et donc il faut ensuite écrire Fm(x) = 1- P(M<x).
   
   

   c) utiliser les questions précédentes.
   
   

5. a) utiliser la croissance de la fonction carrée sur R+. Pensez bien à distinguer les cas selon la valeur de x.
   
   

   b) Les variables ont la même fonction de répartition -> même loi.
   
   

Bilan de l’exercice 2 : un exercice classique sur les densités. Pas de difficulté majeure, les candidats n’ont pas du être surpris.

EXERCICE 3

1. a) Le support de S est [0;4]. Pour la loi, il faut determiner P(S=k) pour tout k dans [0;4], en utilisant l’indépendance de X et Y ( par exemple, P(S=4) = P(X=2) P(Y=2) par indépendance).
   
   

   b) Calcul accessible.
   
   

   c) E( S) = E( X+y) = E( X) + E(Y) par linéarité.
   
   

2. a)Le support de Y est { 0, 1, 2, 4}. Attention, la valeur 3 n’est pas possible.
   
   

   b) P( T=0 ) = P( X=0 ) + P(Y=0 ) – P(X=0) P(Y=0) par la formule de poincaré puis indépendance. Pour la loi, Calculer P(T=1) etc. en utilisant des intersections et l’indépendance des variables.
   
   

   c) cours.
   
   

   d) E(T) = E(XY) = E(X) E(Y) par indépendance et on retrouve bien le résultat de la c).
   
   

3. 4. 5. questions plus longues mais abordables. 
   
   

Bilan de l’exercice 3 : rien de très surprenant, la fin est peut être moins accessible mais tout reste faisable.

EXERCICE 4 

1. Récurrence classique.
   
   
2. Calcul.
   
   
3. Remarquer que un <=1 pour tout n, et avec des inégalités successives on trouve le résultats. Théorème des gendarmes. Lim un =0.
   
   
4. a) calcul long mais faisable.
   
   

   b) non car 2(k+1) n’est pas constant.
   
   

   c) télescopage.
   
   

   d) un =1/vn. On retrouve bien 0 comme limite car lim vn =+infini.
   
   

5. a) a=1 et b=1. Utiliser la question 4).
   
   

   b) télescopage. La série converge vers 1 à première vue.
   
   

6. a) car un est compris entre 0 et 1.
   
   

   b) majorer 1/ t par une expression dépendant de n et passer le tout à l’intégrale.
   
   

   c) calculer l’intégrale de la question b)  puis sommer.
   
   

   d) on reconnaît la série harmonique, qui diverge. 
   
   

CONCLUSION DE L’ÉPREUVE DE MATHS T ESCP 

L’épreuve était plutôt simple, pas trop longue avec presque que des questions classiques. Elle aura récompensé les candidats s’étant entraîné sur les annales et les notions qui retombent très régulièrement.

Mister Prépa souhaite bon courage à tous les préparationnaires pour la suite des concours !