Maths II E ESSEC BS 2021 – Analyse du sujet

Analyse du sujet 

Comme à l’accoutumée, le sujet de maths II E ESSEC commence par quasiment une page d’explications du contexte et de définitions des variables. Il est tentant de lire cette partie en diagonale, mais c’est à éviter si on ne veut pas manquer d’information cruciale. Privilégiez donc une lecture en surlignant, pour trouver ces informations plus rapidement par la suite. Le sujet est donc séparé en trois parties non indépendantes :

1^ère partie : le comportement asymptotique des temps de panne

Dès le début, on remarque effectivement qu’il faut bien avoir compris la signification de chaque variable (X, A, B, …). La première question était abordable par tous par une succession d’implications. La question 2 nécessitait essentiellement du raisonnement sur la signification de chaque variable, pour démontrer les inclusions d’évènements. Cette question demandait de bien connaitre les résultats de cours, comme la probabilité d’une union (P (A ∪ B) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B)). La question 3 portait sur les lois de probabilité et demandait une connaissance sur le bout des doigts de la formule de Bienaymé-Tchebychev. Ces questions étaient très calculatoires et pouvaient demander du temps ainsi que de la place sur la copie. Il fallait aussi veiller aux sommes imbriquées et surtout à leurs indices, afin de ne pas faire d’erreur et pouvoir poursuivre la question 3b), qui était très longue. La question 4 revenait plus spécifiquement aux probabilités. Il fallait maitriser le calcul de séries et de limites. Enfin, la question 5 était peut-être la plus compliquée de cette partie en termes de compréhension de ce que représentait S(infini). Le tout était de bien prendre le temps de lire et relire la définition de cette fonction, et les questions suivantes devenaient plus abordables.

Deuxième partie : le processus de renouvellement

Cette deuxième partie introduit une nouvelle variable aléatoire Nt, égal au maximum des Sk, tant que Sk est inférieur à t. Encore une fois, il fallait maitriser l’inclusion réciproque d’évènements dans la question 6, pour démontrer leur égalité. La question 6c) était particulièrement difficile car elle ne donnait que très peu d’indications. Pour la 6d), il fallait raisonner par succession d’implications. Dans cette question le raisonnement était guidé à la manière d’un raisonnement par l’absurde. La question 7 est la première question de Scilab. On cherche à calculer Nt. Il fallait pour cela retourner chercher la définition de la variable X, puis utiliser les résultats de la première partie (surtout le 4d) pour simuler les Sk, puis Nt qui correspond à leur maximum (tant que les Sk sont inférieurs à t). La question 8 est un classique des exercices de probabilité et a probablement été vue par tout le monde en cours. La question 9 parait évidente mais ne l’est pas lorsqu’on cherche à calculer. Pour y répondre, on peut utiliser le résultat : PB(A) = P(A∩B) /P(B). La question 10 fait un focus sur les lois de Bernoulli, dont il fallait maitriser les paramètres pour trouve la loi de W. La 10b) faisait appel au binôme de Newton, la 10c) demandait un raisonnement sur les liens entre les variables. Pour répondre à la 10d), il fallait développer la formule sommatoire pour retomber sur P(Nt=n).

Troisième partie : le théorème du renouvellement

Cette partie cherche à mettre en évidence des propriétés du processus du renouvellement lorsqu’il se reproduit dans le temps. Il est probable que peu de candidats soient arrivés jusqu’à cette partie au vu de la difficulté du sujet. La question 11 reprend des résultats de la partie précédente, il faut donc raisonner de la même façon. La question 12 veut contrer notre instinct qui serait de reprendre les résultats de la question 11 pour démontrer qu’ils s’étendent en moyenne. Dans cette question, résolution d’équations et calcul de limites sont au programme. La question 13 commence avec des notations en apparence très complexe sur la fonction identité, mais très simple sur le fond : si J<k, alors la fonction identité vaut 0, et dans le cas contraire elle vaut 1. On rappelle que pour montrer que deux variables A et B sont indépendantes, il faut montrer que P(A∩B) = P(A)P(B). Le reste de la question porte sur la logique de la fonction identité. Une très faible minorité de candidats aura répondu aux questions de la dernière page. Les dernières questions reprennent les résultats des questions des parties précédentes. La question 14 porte une nouvelle fois sur l’indépendance des variables. Pour la 14b), il fallait probablement développer la partie droite des deux équations pour retomber sur la partie gauche. La question 15 est quasiment exclusivement calculatoire. Enfin, la 16^ème et dernière question de ce sujet introduit un nouveau type de variables, dont on étudie le comportement. Les calculs étaient vraiment plus compliqués du fait notamment de l’introduction du minimum et de la constante b, mais pas de panique, il est normal de ne pas réussir à finir un sujet tel que le Maths II ESSEC. Les maths parisiennes, c’est fini ! Il ne vous reste plus que les maths EDHEC mardi, mais le plus dur est passé !