Maths ECT: maitriser les matrices (partie 1)

En ECT, les mathématiques constituent une matière qui peut poser problème à de nombreux étudiants. Cependant, c’est une matière terriblement rentable dans la mesure où une bonne méthodologie et de la rigueur peuvent largement garantir une bonne note. Pour cela, il ne faut faire aucune impasse et maitriser chaque chapitre du programme. Dans ce sens, il est nécessaire de faire des récapitulatifs réguliers des notions clés du programme. La partie abordée aujourd’hui sera celle des matrices. La partie des matrices est souvent la partie la plus accessible du programme ECT, c’est l’exercice que reussissent souvent les candidats et cela parce que les questions se répètent pratiquement toujours . Dès lors, avec la bonne méthodologie et en maitrisant les points clés du programme, il est possible de faire un sans faute au concours.

 

Ce qu’il faut savoir :

La principale difficulté lors d’un exercice portant sur les matrices est d’éviter les erreurs de calcul. Une erreur de calcul peut gacher de nombreuses questions et faire perdre de précieux points. Pour limiter les erreurs de calcul, il faut tout d’abord faire preuve d’une concentration sans faille, c’est vraiment la chose la plus importante même si cela semble évident. En effet, avec la redondance des calculs, il arrive que certains perdent le fil, si cela arrive surtout pas de panique, il faut refaire calmement et soigneusement les calculs au brouillons jusqu’à en être sur. De plus, l’avantage en maths ECT est que les exercices nous mènent souvent à certaines réponses qui nous font comprendre si les résultats sont bons ou non, il est donc toujours possible de prendre conscience de ses erreurs et de les corriger.

 

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En amont, pour limiter les erreurs de calcul, il faut multiplier régulièrement les exercices basiques sur les matrices mais également de faire parfois des rappels sur le calcul mental et les multiplications.  De plus, lors des calculs il faut savoir garder en tête certaines règles : il n’est possible par exemple de faire des addition ou des soustractions sur des matrices seulement si elles ont le même nombre de lignes ou de colonnes, la multiplication des matrices n’est pas commutative…

Au delà des opérations de matrices bases (soustraction, addition, multiplications) qui constituent souvent les premières questions d’un exercice, il faut maitriser d’autres points clés et notions du programme :

  • La transposée d’une matrice : Elle se définit comme étant la matrice At obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de la matrice A
  • Le système d’équation linéaire :  Le système d’équation linéaire constitue normalement une autre notion du programme ECT mais peut être lié aux matrices dans la mesure où les matrices peuvent permettre la résolution de ces systèmes. Il faut donc savoir réécrire se système sous forme matricielle.
  • La puissance n d’une matrice carrée : souvent dans les exercices, on te demandera de trouver et de justifier la matrice à la puissance n, dans cette situation de nombreux moyens existent. Ici, une erreur à ne pas faire est d’élever à la puissance n chaque coefficient de la matrice (sauf dans le cas d’une matrice diagonale)

 

Souvent, pour justifier la puissance N d’une matrice, il faudra utiliser une récurrence qui est pratiquement toujours la même sous le format suivant :

Exemple :On raisonne par récurrence sur n.

Énoncé : On note Pn: la propriété : An= PDnQ.

Initialisation : Pour n=0, A0=In et PD0Q= PInQ =PQ =In.

Ainsi P0est vraie.

Hérédité : Soitn=0. On suppose que Pnest vraie et on montre que Pn+1l’est aussi.

Par hypothèse de récurrence, on sait que An=PDnQ. Alors, comme A=PDQ, An+1=An×A= PDnQ×PDQ= PDk(QP) DQ= PDkInDQ =PDnDQ =PDn+1Q.

Finalement Pn+1est vraie et la propriété est héréditaire. 

Conclusion:Comme elle est héréditaire et vraie pourk=n,alors par principe de récurrence, la propriété Pnest vraie pour tout n appartenant à N ,An=PDnQ.

  • Le binôme de Newton : Cette formule est un classique dans les exercices de matrice et tombe souvent dans l’ensemble des sujets ECT (Ecricome, Escp ou Esc), elle sert à donner la puissance n d’une matrice. Cependant pour l’utiliser, il faut que celle-ci s’écrive sous forme de la somme de deux matrices qui commutent. Par exemple, pour que les matrices A et B commutent, il faut que AB= BA. Après avoir explicité cette condition, il faut appliquer la formule.

Voici les notions clés pour appréhender le chapitre des matrices, dans la deuxième partie d’autres notions seront abordées pour perfectionner la maitrise.

Dorian Zerroudi

Rédacteur chez Mister Prépa, j'ai à coeur d'accompagner un maximum d'étudiants vers la réussite !

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