Découvre sans plus attendre l’analyse du sujet de maths S emlyon bs 2021 sur lequel se sont penchés les candidats de voie scientifique (ECS). Cette épreuve marque le début des concours pour les prépas.
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Comme à son habitude, emlyon nous propose un joli sujet composé de deux gros problèmes. Sujet assez conséquent en termes de longueur avec beaucoup de classiques et de question très abordables ! On espère que vous avez lu tout le sujet, et que vous avez pris le temps de repérer plus précisément les questions très faciles à faire rapidement pour gratter le petit point, qui, l’on espère, vous fera décrocher l’admissibilité de vos rêves.
Assez parlé, parlons maintenant de l’épreuve en elle-même !
Problème 1 :
Partie A : Un grand classique, on y reconnaît des notions qui tombent régulièrement, que ce soit à l’EM ou à d’autres épreuves ! Il était important de la faire avec précision en prenant le temps de bien rédiger.
Plus précisément :
1a) Un simple encadrement à faire
1b) On somme l’inégalité pour k allant de 1 à n et on applique le cours sur les critères de convergence
2) On se sert de l’inégalité de la première question, on somme (jusqu’à n-1 ce coup-ci) et on somme.
3a) Récurrence et inégalité triangulaire
3b) Du Scilab, déjà ! Notions déjà abordées plusieurs fois en cours.
Partie B :
Partie plus technique, mais il y avait quand même pas mal de questions très abordables.
4) On revient sur le cours en transformant ici les sommes.
5a)Un calcul et pour S(1) : somme télescopique (on passe à la limite en passant à une somme de 1 à n et non en gardant la série sinon on ne peut appliquer le cours) et on trouve 1).
5b) Question très calculatoire, réservé aux plus persévérants !
6a) Il suffit simplement de rassembler les deux sommes, de mettre sur le même dénominateur et de sortir le terme (y-x).
6b) Ca va de soi en utilisant la 6a.
6c) On applique le théorème des accroissement finis sans oublier de prouver la convergence de la série à droite pour enlever la grande valeur absolue et ainsi sortir le h. Pour la deuxième partie, question de cours en passant à la limite on trouve la dérivabilité et ainsi la valeur de S’(x). (la même était tombée MATHS EML 2015).
7a)
7b) Récurrence sur n en utilisant la 7a pour l’hérédité.
7c) Utiliser 7b + 2 (comment utiliser la croissance?).
8a) On part de la droite et on passe à la somme de l’intégrale avant d’intégrer. Après passage à la limite (pour la borne 0), on tombe sur le résultat voulu.
La fin de l’exercice nécessitait de reprendre plusieurs résultats obtenus plus tôt.
Partie C :
Une partie assez simple ici avec beaucoup de questions que vous savez tous normalement très bien faire (surtout la 9 et 10). Attention à bien rédiger pour ne pas perdre de points bêtement.
9 ) Du cours. On pense aux 3 conditions, aucune difficulté ici.
10 a) Aucune difficulté non plus, simplement le cours à appliquer.
10b) Riemann série divergente avec alpha=1. Donc pas de moment d’ordre 1.
11a) La première partie était déjà plus compliquée, il fallait revenir à la définition de la partie entière. Pour la seconde partie de la question, on passait par la fonction de répartition et cela se passait plutôt bien.
- b) On utilise la 11a.
- c) Cours. On utilise la 6c pour la densité de Y.
12) Un peu longue mais abordable.
Problème 2 :
Un problème complet qui faisait apparaître à la fois de l’algèbre mais aussi des probabilités ! Plus compliqué que le premier, mais là aussi pas mal de points à gratter.
Partie A :
1a) Simplement à remplacer et calculer (sans oublier de dériver).
1b) Du cours ici.
2a) Application numérique avec n=2.
2b) Il suffit simplement de chercher les valeurs propres de A2. La deuxième partie est du cours, on se sert de l’espace matriciel en question et du nombre de valeurs propres distinctes deux à deux.
2c) Du cours encore ici.
3) Récurrence sur n.
4 a) Il suffit de remplacer, en isolant le cas où i=0.
4b et 4c) Cours ici.
5a) Calculatoire.
5b) Du cours encore une fois.
6a) Récurrence, mais l’hérédité ici était assez compliqué.
6b) Cours. DIM SEP = 1.
7a) Très calculatoire, il fallait être très assidu et rigoureux pour ne pas se tromper.
7b) Grâce à la 7a, on en déduit que 1 est valeur propre. On peut donc facilement trouver un SEP.
8a) Cours
8b) Question assez complexe qui allait chercher dans le retranchement des plus tenaces !
Partie B :
9) Cours.
10) Application selon la loi et calcul ensuite.
11a) Du Scilab, une bonne manière ici de gratter quelques points !
11b) De même
11c) Lecture graphique simplement.
12a) Il ne fallait pas se tromper sur la loi de Zk, sinon c’était mort pour cette question ! Point facile à prendre encore une fois.
12b) Calculatoire, il fallait différencier certains cas.
12c) Du cours ici.
12d) La 12c ainsi que la loi de Zk nous permet de répondre trivialement à cette question.
13a) Récurrence sur k
13b) Cette question faisait apparaître de multiples notions de cours.
14a) Cf 13b
14b) On se sert de la 14a et de la formule de cours gentiment redonnée dans la 14b.
14c) On applique le cours.
