Découvre ici l’analyse du sujet de mathématiques T ESCP BS du concours 2021 pour les candidats issus des prépas ECT (voie technologique).
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EXERCICE 1
C’est un exercice d’algèbre assez classique mais qui pouvait déstabiliser certains candidats.
Partie 1
a) Simple question calculatoire
b) On utilise le résultat trouvé en 1)a).
c) Ici on démontre un point de cours. Indirectement on nous donne les vecteurs propres de J et cela nous permet de retomber sur les valeurs propres trouvées en 1)b).
d) Ici on pose la matrice diagonale D (avec les valeurs propres ordonnée de manière arbitraire par les concepteurs). Dès lors, il fallait simplement réaliser le calculer pour démontrer JP=PD1. Ensuite, il fallait multiplier par la matrice inverse P^-1 dans l’égalité trouvée et on a par définition une égalité montrant que J est diagonalisable. (Attention, il faut multiplier P^-1 à droite, l’ordre à toute son importance quand il s’agit de multiplication de matrices !)
e) Cette question se démontre par le calcul (et on a de manière cachée la fameuse relation pour tout n de N, J^n=PD1^nP-1)
Partie 2
a) C’est une question calculatoire
b) Ici il fallait résoudre un système. Mais les candidats les plus à l’aise pouvaient trouver les réels de tête. (a=1, b=2, c=1)
c) Il suffisait de remplacer l’expression trouvée en 2)b par la relation trouvée en 2)a. Bonne nouvelle, si on trouve le résultat, notre calcul en 2)b) était correct ! La suite de la question était plus difficile.
On sait que J² = 2J d’après la question 1) a).
Or A = J²+2J = 2x(2J) = 4J.
On sait aussi que J=P(D1)P^-1 car J est diagonalisable d’après la question 1) d).
Donc A = 4P(D1)P^-1 = Px4(D1)xP^-1
Et par équivalence AP=Px4(D1)
Ainsi, on voit qu’il existe bien une matrice diagonale (D2)=4(D1) telle que AP=P(D2)
Partie 3
a) C’est une question Scilab très classique, donc il fallait en profiter pour gagner des points ! (Entrer la matrice A et affecter à la matrice B la valeur de A^n)
b) Cette question est assez atypique ! Elle pouvait en déstabiliser plus d’un ! Il fallait comprendre comment A évolue en fonction des puissances qu’elle a. Ainsi, on pouvait déduire A^5 sans calculer A^5. Il suffisait simplement de remarquer tout d’abord que le seul coefficient qui différait était celui du milieu. Il fallait donc trouver lequel des deux correspond à celui de A^5. Pour cela, il faut multiplier le vecteur colonne au milieu de la matrice A² avec le vecteur ligne au milieu de la matrice A^3 pour obtenir le bon coefficient.
EXERCICE 2
Exercice globalement réalisable par les élèves ayant bien compris les notions relatives aux lois continues. Toutefois, certaines questions pouvaient être réalisées en prenant de la hauteur sur certaines notions ! (notamment question 1)c).
Partie 1
a) C’est du cours. Par définition c’est l’intégrale d’une fonction à densité connue sur R, celle d’une loi exponentielle. Elle fait ainsi 1.
b) Il faut appliquer les formules de cours pour une loi exponentielle de paramètre 1.
c) Question assez subtile. En effet, à l’aide de la 1)b), et en réécrivant l’espérance de f sous forme d’intégrale, on avait la valeur de la première intégrale demandée. Pour la seconde, c’est le moment d’ordre deux de l’espérance. Il faut utiliser la formule de Kœnig Huygens et isoler E(Z^2) (sachant que l’on connaît déjà E(Z) et V(Z) !). il aurait été maladroit ici de faire des intégrations par partie…
Partie 2
- a) Il suffisait de sortir les constantes de la fonction f de l’intégrale et d’utiliser les questions 1)a et 1)c. (qui elles convergent).
- b) Il faut démontrer les points du cours (dont l’un a été démontré en 2)a, car l’intégrale vaut 1)).
- c) L’espérance existe car en utilisant la relation de Chasles, on a deux intégrales convergentes (celles trouvées en 1)c)). Il suffit de sortir les constantes et d’utiliser les résultats précédemment trouvés.
Partie 3
a) On a une IPP à réaliser. Il fallait être méthodique dans le choix des fonctions à dériver et primitiver. Le plus simple était de dériver t et primitiver e^-lambda*t (en faisant apparaître -lambda dans l’intégrale). On retombe sur une forme u’(x)e^u(x).
b) C’est une question bilan qui nécessite les questions 1)a), et la 3)a).
EXERCICE 3
1)
C’est une question de limite classique sans véritable difficulté.
Cette question originale nous faisait calculer la limite du taux d’accroissement de f en 0. Rappelons que la formule du taux d’accroissement est (f(x)-a)/(x-a). Ici a vaut 0. Donc si cette limite converge bien vers un réel, alors on peut en déduire que f est dérivable en 0 et ce réel vaut le nombre dérivé à droite de f en 0.
2)
La question était étonnamment classique et sans difficulté particulière. L’objectif de cette question est d’obtenir l’allure graphique de f. Le candidat était guidé dans toutes les étapes pour arriver à ceci. En premier lieu, il fallait dériver f (a), puis trouver le signe de la dérivé pour étudier les variations de f (b), ensuite calculer les limites de f aux bornes de son domaine (c) et enfin montrer si la fonction est convexe ou concave en calculant la dérivé de la dérivé.
3)
Il était impossible de trouver cette limite par le calcul. Il fallait utiliser le résultat admis dans votre cours d’après les croissances comparées. Attention toutefois à ne pas vous tromper de signe. (Le bon résultat valait -1)
Dans cette question, il fallait dans un premier temps développer l’expression qui nous est posée. Il fallait ensuite remarquer que la limite de f(x)*-x est de la forme de la question 3) a). Par composition de la limite, on arrivait à montrer que lim en +inf de f(x)-(x-1)=0.
La droite asymptote à C au voisinage de +inf est donnée dans la question précédente. Il s’agit tout simplement de la droite affine (x-1).
4)
Cette question porte sur l’étude d’une suite. Si vous avez bien travaillé ce chapitre au cours de l’année, cette question ne devait absolument pas poser de problème.
Il fallait commencer par montrer que les termes de la suite étaient toujours positifs grâce à une récurrence on ne peut plus classique (a), puis déterminer que la suite est décroissante en vous appuyant pour cela de l’étude de la fonction f réalisée plus tôt dans l’exercice (b) et enfin grâce au théorème de la limite monotone prouver que la suite converge bien vers une limite (c). La question (d) consistait simplement à rentrer la formule par récurrence de la suite dans la variable u (soit u = u*(exp(-1/u))) et à créer une incrémentation dans la variable n (soit n=n+1).
5)
Cette question était sans doute la plus difficile de l’exercice. Pour obtenir la relation demandée, il fallait penser à procéder par récurrence.
La somme partielle de la série des 1/(un) est égale à -ln(un+1). On sait que (un) tend vers 0 donc, par passage à la limite, on trouve que la série diverge.
EXERCICE 4
Partie 1
a) C’est un calcul de probabilité pour introduire la variable Xn. Ici il suffisait de raisonnement en termes d’événement. Par exemple, [X1=0] : avoir 0 boule noire dans l’urne U1. Dès lors, sa probabilité est égale à la probabilité de tirer deux blanches dans l’urne U0 (soit 2/4 * 1/3 respectivement). Ce qui donne bien P([X1=0]=2/12=1/6.
Même procédé pour P([X1=2]). Et on remarque que {[X1=0],[X1=1],[X1=2]} est un système complet d’événement (SCE). Dès lors pour trouver la troisième probabilité (P([X1=1])), on pouvait utiliser la relation suivante :
P([X1=1])=1-(P([X1=0])+P([X1=2])=1-2/6=1-1/3=2/3
b) Pour calculer l’espérance, il suffit d’appliquer la formule classique de l’espérance d’une loi discrète (
Partie 2
Il faut retranscrire les événements ici. [Xn=2] veut dire qu’on a 2 boules noires dans l’urne N. Ainsi, on a, à l’issue des tirages précédents, toujours tiré deux boules noires. Donc, [Xn=2] est l’intersection de tous les Ak, de k allant de 1 à n. Etant donné que les Ak ne sont pas indépendants, on utilise les probabilités composées. Obtenir deux boules noires est de probabilité 1/6 et on répète l’expérience n fois. D’où le résultat demandé.
Partie 3
a) Pour cette question il fallait prendre de la hauteur et se rappeler de la question 1)a. On doit utiliser la formule des probabilités totale et le SCE est {[X1=0],[X1=1],[X1=2]}. L’événement liant [Xn=0] et [Xn+1=1] étant impossible on comprend pourquoi on ne le retrouve pas dans le résultat.
b) Pour la récurrence il fallait utiliser pour l’hérédité la relation trouvée en 3)a). Réalisable dans l’ensemble mais il fallait être méthodique et rigoureux.
c) Question très subtile, qui n’était pas facile… ! Il fallait de nouveau utiliser la notion de SCE ! On a déjà trouvé P([Xn=2]) en 2), P([Xn=1]) en 3)b), et on utilise la relation suivante :
P([Xn=0])=1-(P([Xn=1)]+P([Xn=2]) (par définition d’un SCE)
4)
De manière assez symétrique à la question 1)b), on utilise la formule de l’espérance mathématique, mais cette fois-ci avec les probabilités en Xn et non X1 (). Il faut ensuite faire tendre n vers +
