ECE2 – Algèbre linéaire #01 : premières méthodes indispensables

ECE2 - Algèbre linéaire #01 : premières méthodes indispensables

L’algèbre linéaire représente une partie très importante du programme de mathématiques en ECE2. Il est indispensable de connaitre toutes les méthodes présentes dans la plupart des sujets de concours.

Voici les premières méthodes illustrées par des questions de concours (Ecricome, Edhec et Emlyon).

En algèbre linéaire, les méthodes à utiliser dans les exercices de concours sont souvent les mêmes. Il faut cependant faire très attention à l’espace vectoriel dans lequel on travaille ! Il peut s’agir des espaces vectoriels usuels (n-uplets, matrices, polynômes, fonctions, suites) ou alors d’un espace vectoriel proposé par l’énoncé (comme dans le sujet EDHEC 2020)

ATTENTION : pour chaque question posée, il y a souvent plusieurs méthodes. Pour connaitre celle qui est la plus efficace, il est primordial de s’aider des questions précédentes. Une lecture attentive de l’ensemble de l’exercice est donc indispensable avant de commencer à composer.

Cette liste de méthodes est non exhaustive. Je vous propose celles qui sont les plus utilisées.

Les 5 méthodes :

1) Comment montrer qu’une famille de vecteurs est libre ?


Méthode n°1 : Si cette famille ne contient qu’un seul vecteur non nul, alors elle est libre. Sinon, elle est liée.

Méthode n°2 : Si cette famille contient 2 vecteurs non colinéaires (=non proportionnels), alors elle est libre. Sinon, elle est liée.

Méthode n°3 : lorsque la famille compte 3 vecteurs ou plus, il faut montrer que l’unique combinaison linéaire des vecteurs de cette famille donnant le vecteur nul est celle dont tous les coefficients sont nuls.

2) Comment montrer qu’une famille de vecteurs est génératrice ?

Méthode : si on parvient à écrire E=vect(F) avec E un espace vectoriel et F cette famille de vecteurs, alors F est une famille génératrice de E.

 

3) Comment montrer qu’une famille de vecteurs est une base ?

Méthode n°1 : Une famille de vecteurs d’un espace vectoriel E est une base lorsqu’elle est libre et génératrice.

Méthode n°2 : Soit E un espace vectoriel de dimension n. Si cette famille contient n vecteurs et est libre, alors cette famille est une base.

Méthode n°3 : Soit E un espace vectoriel de dimension n. Si cette famille contient n vecteurs et est génératrice, alors cette famille est une base.

4) Comment calculer la dimension d’un espace vectoriel E ?

Méthode : la dimension d’un espace vectoriel E est le nombre de vecteurs présents dans chacune de ses bases. Dès lors qu’on connait une base de E, il suffit de calculer le nombre de vecteurs que contient cette base (ce nombre est appelé le cardinal, noté card).

5) Comment montrer qu’un ensemble F est un sous-espace vectoriel de E ?

Méthode n°1 : il s’agit de montrer les 3 points suivants :

1-  F est inclus dans E (souvent par définition)

2-  F est non vide : c’est-à-dire qu’il faut montrer que le vecteur nul de E appartient à F

3-  Pour tout couple de réels (a,b) et pour tout couple de vecteurs (U,V) appartenant à F, aU+bV appartient aussi à F.

Méthode n°2 : si on peut écrire F comme l’ensemble des combinaisons linéaires de vecteurs de E, on obtient alors : F=vect(A1,…,An) avec A1,…,An, n vecteurs de E. Par ailleurs, (A1,…,An) est une famille génératrice de F.

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