Découvrez sans plus tarder la correction des mathématiques ECRICOME 2022, pour la filière ECE. Cet examen marque le début des concours pour les étudiants de classe préparatoire, qui redoutent, souvent, une trop grande difficulté.
Pour bien comprendre l’examen de mathématiques, vous pouvez consulter notre KIT en cliquant ici ou directement sur notre plateforme Prepa+.
En ECE, dans le cadre des concours ECRICOME 2022, les mathématiques représentent un coefficient de 4 à 5 selon l’école. Pour rappel, le coefficient total des écrits pour ECRICOME est de 25.
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CORRIGE DU SUJET DE MATHS ECE ECRICOME 2022
On retrouve ici un sujet Ecricome classique, avec 3 exercices de tailles sensiblement équivalentes.
Un exercice d’algèbre linéaire ayant pour but final l’étude d’une suite “arithmético-géométrique” de vecteurs colonnes.
L’étude de fonctions classique débouchant sur une étude de suite et une fonction de deux variables.
Un problème de probabilité discrètes pour terminer. On note ainsi l’absence complète dans ce sujet de variables à densité ainsi que de statistique.
La tendance aux sujets extrêmement longs des dernières années se poursuit, avec ici pas moins de 66 questions ou sous-questions. C’est donc un sujet que peu de candidats ont pu mener à son terme.
Exercice 1.
Partie I.
1) On exprime F sous la forme d’un sous-espace engendré, et le tour est joué.
2) Il ne fallait pas se laisser piéger par cette question, où la réponse est “non”. Un contre-exemple simple sans aller chercher loin suffit, par exemple en montrant la non stabilité du produit par un réel, avec un multiple de l’identité.
3) On retrouve l’enchaînement classique du polynôme annulateur.
L’étude de l’inversibilité est liée à la valeur propre 0, et celle de la diagonalisabilité à la condition nécessaire et suffisante.
Partie II.
4) Un peu de calcul pour débuter cette partie, avec notamment un système non linéaire, et une discussion suivant les cas.
5) La réponse à cette question devait être faite de manière très rapide, vu que nous connaissions la dimension depuis la question 1).
6) A nouveau un peu de calcul matriciel, avec pour terminer, au choix, une récurrence ou un binôme de Newton. Une erreur est toutefois à signaler dans la 6)a). Il fallait donc avoir confiance en ses propres calculs.
7) On termine cette Partie en se rappelant de la définition d’une matrice inversible, couplée aux résultats de la question 6).
Partie III.
8) Un peu de calcul pour démarrer, et la 9) se traite en utilisant la fin de la Partie II.
10) Un système linéaire, qui n’empêche pas de poursuivre en cas d’échec, puisqu’il suffit d’utiliser la relation de récurrence définissant la suite (11a), puis de faire une récurrence (11b).
12) Le bilan de l’exercice, sous forme d’un résultat qui s’obtient simplement en remplaçant.
Exercice 2.
Partie I.
1) Aucune forme indéterminée ici. Il fallait donc seulement prendre le temps de détailler les différentes étapes / opérations.
2) Pas de difficulté dans cet enchaînement, avec une étude de fonction nécessitant une étude intermédiaire, et un théorème de la bijection.
3) Il fallait éviter de perdre trop de temps sur cette question assez difficile, présente notamment pour tester la notion “d’équivalence” chez les candidats, mais qui n’empêche pas de traiter la suite de l’exercice.
Partie II.
4) Une récurrence pour débuter cette Partie, suivie du premier programme Scilab (5) du sujet, avec un vecteur à construire, (par exemple) par concaténation.
6) On retrouve ici une succession d’études de signes, permettant d’aboutir aux variations de la suite (7).
Les variations de g, ainsi que le très classique théorème de la limite monotone permettaient ensuite d’étudier les différents cas proposés, suivant le 1er terme : version convergente (8), divergente (9), et retour à un cas précédent (10).
Partie III.
On a là une fonction de deux variables étudiée de manière somme toute classique, avec la régularité (11), les dérivées partielles premières (12) données, permettant ensuite sans trop de souci de trouver le point critique (13).
La hessienne également donnée (14) permettait facilement de déduire la nature du point critique (15), dont la 16) est une conséquence directe.
Exercice 3.
Partie I.
Il ne fallait pas hésiter à donner des noms aux évènements élémentaires pour bien rédiger les réponses :
par exemple : “Ak={le jeton n°k va dans l’urne 1}”, etc…
1)a) On attendait l’argument classique du “nombre de succès”.
- b) à e) On a une succession de questions menant à la formule de Poincaré : intersections et indépendance, réunions, justification d’égalités d’évènements par des phrases.
2) On utilise ici le théorème de la limite monotone probabiliste.
3) La deuxième séquence Scilab du sujet propose un programme à compléter, avec une incrémentation, et un autre à construire complètement, mettant en oeuvre la loi des grands nombres.
Cette Partie se termine ensuite par quelques justifications par des phrases (4 et 5), et un calcul de sommes géométriques (6).
Partie II.
Comme souvent, on retrouve une Partie probabiliste très calculatoire pour terminer, avec en prime des notations parfois lourdes (double indexation), à quoi on peut ajouter la fatigue de fin d’épreuve. Vu la longueur du sujet, il est clair que tous les candidats n’auront pas eu le temps de l’aborder.
7) On débute directement par un couple de variables aléatoires prenant assez peu de valeurs (mais où le risque d’erreur en cas de mauvaise visualisation de la situation est important), et des calculs numériques de loi marginale et de covariance.
A partir de la question 8), on cherche à généraliser, et on continue de balayer les propriétés probabilistes, telles que la linéarité (9). Certains résultats de la partie I peuvent être repris (10), et il ne faut pas hésiter à “raisonner” (par des phrases) plutôt qu’à chercher à systématiquement se lancer dans des calculs (11).
On termine tout de même ce problème par quelques calculs, de sommes (12 et 13), et on conclut sur une interprétation de la covariance (14).
