Découvre sans plus attendre l’analyse du sujet de Mathématiques ECRICOME 2021 voie S. Il s’agit de l’épreuve qui a marqué le début des concours pour les prépas ECS.
POUR VOIR LE SUJET COMPLET DE MATHÉMATIQUES S ECRICOME 2021
POUR VOIR TOUS LES SUJETS DU CONCOURS ECRICOME 2021
On a retrouvé la formation habituelle de l’épreuve Ecricome : 2 exercices et un problème. S’il y avait quelques surprises, le sujet présentait beaucoup de questions très abordables. Cela dit, le sujet était assez long dans la rédaction des réponses.
EXERCICE 1 (algèbre) : 3 parties assez longues (1) abordables par tous (2) plutôt abordable (3) un peu plus dur
1ère partie : très classique et doit être effectuée de façon mécanique
La question 1. est un calcul matriciel qui nous permet de trouver un polynôme annulateur. Cependant pour montrer qu’il n’y a que 0 comme vecteur propre, il faut utiliser la méthode classique de recherche de valeurs propres (le polynôme annulateur est inutile ici). Finalement, 0 n’est pas diagonalisable, puisque la matrice est non nulle. Bref, une première question qui prend du temps et qui doit être réalisé de façon mécanique.
La question 2. est une question où l’on peut gagner du temps sur les autres si on connait bien son cours sur les matrices symétriques (sinon on perdra du temps à faire des calculs), car en effet on remarque qu’à la question suivantes on donne les valeurs propres de S.
La question 3. invite seulement à passer des vecteurs propres de J à des vecteurs propres de S associés aux valeurs du spectre de S.
La question 4. est simplement une citation de votre cours sur la diagonalisation.
2ème partie : des questions de cours et de compréhension
On commence par vous mettre en confiance par la démonstration habituelle d’une forme linaire à la question 5.
On continue à vous mettre en confiance avec des démonstrations du cours avec celle d’un sous-espace propre à la question 6.
On commence à la question 7. à rentrer dans des questions faisant la différence quant à la compréhension du sujet : transposer la matrice n’implique seulement que la somme sur la ième ligne devient la somme de la ième colonne et la question se termine par un calcul. La question.
La question 8. est encore une question de compréhension. Puisque M appartient à l’espace En alors la somme de ses lignes et colonnes est égal à un même réel. Ce réel est le lambda cherché.
La question 9. est donné si vous aviez compris ce qui précède, puisque le produit entre M et le vecteur Wn renvoie un vecteur colonne avec pour chaque coefficient la somme de chaque ligne de M.
3ème partie : une étude de cas de ce qui précède
La question 10. est une vérification qu’on est bien en train de faire une étude spécifique du cas général.
La question 11. est bien plus compliquée que les précédentes. Il faut montrer l’existence et l’unicité. Une démarche d’analyse / synthèse pouvait notamment être utilisée par les candidats.
La question 12. est décomposée en deux vérifications rapides.
La question 13. invite à « en déduire », donc la réponse est à la ligne précédente. Pour montrer que l’on a ensuite une base il suffit de montrer la liberté de la famille.
La question 14. est une question de bilan. Elle évalue votre capacité à prendre du recul sur tout ce que vous avez fait durant l’exercice. La formulation est donc essentielle.
EXERCICE 2 (n variables) : Un premier groupe de questions faciles (mais calculatoire) et un second groupe plus astucieux.
Questions 1 à 5 : du méthodique (surtout ne pas se précipité ! attention aux erreurs de calcul)
Les questions 1. est très méthodiques et très habituelle pour évaluer votre connaissance du cours et votre capacité à argumenter.
La question 2. est essentiellement calculatoire.
La question 3. peut être abordée même si vous n’avez pas fait la précédente, car le sujet donne le dérivées partielles d’ordres 2. Il suffit de remplacer x et y par 0 et racine de 1/2. La suite de la question est une question de cours. La réponse dépend de la positivité ou négativité des valeurs propres de la matrice hessienne (qui sont ses coefficients diagonaux dans ce cas de matrice diagonale)
La question 4. est la même question que la 3. (here we go again !)
La question 5. est encore la même question, avec cette fois l’ajout de la diagonalisation avec matrice symétrique.
Question 6 à 9 : on rentre dans quelque chose de plus dur (bien qu’une question facile soit cachée au milieu)
La question 6. est plutôt compliquée : La sous-question (a) se fait par inégalité triangulaire, et majoration par un maximum. La sous question (b) se fait en revenant à la définition de la limite. La sous-question (c) en a surement étonné beaucoup, car on ne voit pas souvent des questions de topologie (here we are !), la réponse pouvait notamment s’obtenir par justification de la continuité de la fonction max et valeur absolue sur le segment fermé [0 ; r]. Enfin, cette longue question se conclue sur la sous-question (d) qui reprend la question 2. et termine l’étude.
Questions 7. : une telle lecture de gradient, c’est du jamais vu sur les dernières années ! Si vous n’aviez jamais vu ça en cours, c’était le moment de passer votre chemin, d’autant plus que la question porte sur le cercle et non pas le disque.
La question 8. était super facile ! Une étude de fonction à une variable sur un segment. Des points à prendre !
La question 9. est facile une fois que l’on a remarqué que l’étude de la question 8 est celle du signe de f sur x^2+y^2=1, où l’on a remplacé dans f x^2 par 1-y^2.
PROBLÈME (probabilité, un beau problème de statistique) : les deux premières parties étaient riches en points à chercher, la dernière était plus complexe.
Partie 1 : Beaucoup de points à chercher car facile ou très méthodique (donc classique de votre cous)
Pour a question 1. on retrouve du Scilab : créer une fonction avec une simulation d’un vecteur de variable aléatoire qui renvoie le maximum pour la sous-question (a) et un interprétation graphique pour la sous-question (b).
La question 2. est une question de cours pour la sous-question (a), puis une petit astuce de transformation d’un maximum en une intersection pour la sous-question (b) et enfin il fallait avec le cours vérifier les 3 caractéristiques d’une variables aléatoires à densité sur la fonction de répartition (attention à ne pas se tromper dans le cours) pour la sous-question (c).
La question 3. est là encore assez rapide : la finitude des valeurs prises par la variable aléatoire donc l’existence de l’espérance et son calcule permet d’observe si la variable aléatoire était biaisée ou non.
Pour la question 4. la formule de Bienaymé-Tchebychev n’est pas loin.
La question 5. Invite seulement à isoler Vn d’un côté de l’inégalité et ensuite à passer à la limite conformément à la définition de la convergence en loi pour trouver la convergence en question.
La question 6. doit se faire de façon mécanique (c’est une méthode habituelle de chercher des intervalle de confiance asymptotique), donc soit vous connaissez la démarche, soit vous passez la question (si vous avez passé, reprenez la méthode d’un exercice de votre cours et apprenez la méthode par cœur). Souvenez-vous que la bijection réciproque de la loi normale centrée réduite est votre amie dans ce genre de question.
La question 7. est à nouveau une question facile : la finitude des valeurs prises par Vn implique l’existence du moment d’ordre 2, reste plus qu’à le calculer pour la sous-question (a) et la suite est du calcul et le lien entre risque quadratique et la convergence.
Partie 2 : Encore beaucoup de questions très abordables et rapides si l’on connait son cours !
Pour la question 8. ce sont encore des points cadeaux, car Scilab is back (fonction de renvoyant la proportion d’une somme de vecteur de variables aléatoires, pour faire rapide).
La question 9. est facile par linéarité de l’espérance. Reste alors à comparer avec a pour savoir si Mn est biaisée ou non.
La question 10. vérifie votre capacité à calculer un risque quadratique et là encore (cf. question 7.) votre connaissance du lien avec la convergence.
La question 11. recourt à la loi faible des grandes nombres (le produit par racine de n vous en donne l’indice) et une fois que vous l’avez vu, c’est good.
La question 12. invite encore une fois à faire un intervalle de confiance asymptotique : cf. la question 6. pour la méthode, mais c’est pareil.
La question 13. vous invite à décider quel estimateur entre Mn et Vn est le meilleur en fonction de leur risque quadratique et la convergence est plus forte sur la graphique de gauche (comparer à partir de 80 en abscisse par exemple). POUR LES PLUS ASTUCIEUX d’entre vous, LA REPONSE EST ECRITE A LA PREMIERE LIGNE DE L’ENONCE DE LA PARTIE 3 !
Partie 3 : Une dernière partie de problème plus dure …
Pour la question 14. il fallait faire très attention, car dans la formule de Vn=max(X1, …, Xn) on a X1 qui ne suit pas la même lois que les autres Xi. Donc pour la sous-question (a), comme à la question 2. (b) tout en faisant attention aux Xi qui change le résultat. La sous-question (b) porte sur les t inférieurs à a, il faut ouvrir les yeux. La sous-question (c) est un peu plus dur et calculatoire.
La question 15. permettait de récupérer quelques points : la sous-question (a) s’écrit aisément par séparation de la somme ; la sous-question (b) se fait par inégalité triangulaire dans la formule obtenue précédemment ; pour la sous-question (c) il faillait simplement utiliser l’inégalité (b) et majorer à droite grâce à la supposition de la sous-question (c), on aboutit à une inclusion ; la sous-question (d) réutilise le rappel de l’énonce : (M’n) converge en probabilité vers a, ce que l’on réintroduit dans l’inégalité probabiliste obtenue par la sous-question précédente.
La question 16. est une dernière question classique de problème : il faut prendre du recul.
