Maths T BSB 2021 – Analyse du sujet

Exercice 1 :

1.Exemple

Pour l’exemple numéro un, ici il suffit de montrer qu’on a bien la relation . C’est purement calculatoire.

Astuce : Vous pouvez factoriser la matrice par 1/3. Dès lors, on retrouve une matrice classique (la matrice unitaire, faite que de 1). La matrice unitaire vérifie cette relation :

Donc,

2.Quelques propriétés

a) Question classique. Pour vérifier que est un polynôme annulateur de M, il suffit de remplacer dans la relation précédent X par M. On trouve bien une différence égale à 0. (car  par définition).

b) Pour cette question, il faut utiliser la relation précédente (c’est une notion de cours). On a un polynôme annulateur, dès lors les valeurs propres possibles de M (=le spectre de M) sont inclus dans les racines du polynôme. Il suffit de factoriser par X la relation précédente et on trouve 0 et 1.

c) Question calculatoire. Il faut montrer que . On applique la puissance de deux à la relation (I-M) qui définit N et on trouve le résultat en utilisant l’identité remarquable

3. Application à l’étude des puissances d’une matrice

a) Question encore une fois calculatoire, mais c’est une bonne nouvelle ! ça permet de grapiller des points. Il suffit de revenir à la définition d’une matrice idempotente. Montrer ainsi que et  (à l’image des questions précédentes). Puis calculer simplement CD et DC.

Astuce : pour gagner du temps, calculer CD et DC de manière algébrique et non matricielle ! Par exemple, . Et comme C est idempotente, … Même raisonnement pour le calcul de DC !

b)Il faut faire ici une récurrence. L’initialisation est simple. Pour l’hérédité, il faut utiliser la relation lorsqu’on multiplie l’hypothèse de récurrence pour retomber sur. De plus, c’est une question « bilan ». On va utiliser le fait que CD=DC=0, et que / .

Ensuite, pour le calcul de , il faut prendre son temps et respecter les propriétés sur les puissances n. c’est une question qui en vaut la peine, elle peut rapporter gros (car assez calculatoire).

c) Assez classiquement, on trouve , donc

d) Question calculatoire

e) Il faut faire une récurrence. Elle est classique en ECT. (Pour l’hérédité, n’oubliez pas d’utiliser la relation )

f) Question « bilan » très calculatoire, qui reprend la matrice en 3)a. A faire car rapporte pas mal de points (et traitée par peu de candidats !)

Exercice 2

1) Pour cette question, il faut poser une fonction. On dérive cette dernière et on trouve les variations de la fonction. Elle admet un minimum global en -1/2 à valeur positive. Donc, pour tout x de

2) Calcul sur les limites. Il suffit de connaître la limite du log en + l’infini (=qui tend vers l’infini) pour trouver les deux autres limites.

3) Question calculatoire à réaliser pour grapiller des points, aucune difficulté à priori.

4)

a) La dérivé est un peu plus complexe, car nous avons une composé de fonction ! La dérivé de la composé est !

b) Question « bilan ». On étudie ici le signe de la dérivé et on en déduit les variations de la fonction f par définition.

Astuce : Ici pour gagner du temps, on sait déjà d’après la question 1 que le dénominateur est toujours positif. Dès lors, la dérivé de f est du signe du numérateur… ce qui simplifie considérablement l’étude de signe ! (Changement de signe en x=-1/2)

5)

a) Il faut ici s’aider du tableau de variation fait précédemment. Le minimum de f est en -1/2. Et f(-1/2)= ln(3)-2ln(2)=ln(3)-ln(4) (par propriété sur les log). Comme la fonction log est croissante, on sait ainsi que ln(3)<ln(4) et donc, ln(3)-ln(4)<0.

Il faut utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour montrer qu’il existe que deux valeurs tel que f(x)=0. Ensuite, il suffit de vérifier en remplaçant x par 0 et -1.

b) Il faut utiliser la formule de l’équation d’une tangente en un point. Ici c’est en 0. (Pour rappel, l’équation est donnée par : y=f’(0)(x-0)+f(0). On trouve bien y=x).

Même démarche pour l’équation au point d’abscisse -1

6) a) C’est un calcul de dérivé seconde. Il peut paraître assez complexe. Donc, il fallait prendre son temps et connaître ses formules de dérivés. De nombreux candidats ont pu se tromper, donc il fallait essayer de la faire pour se démarquer ! De toute façon le résultat est donné, vous n’avez rien à perdre !

b) Une étude de convexité nécessite une étude de signe de la dérivé seconde.

7) a) Il faut utiliser réutiliser le tableau de variation de f en 4)b et le théorème des valeurs intermédiaire !

b) Pour vérifier si , il faut calculer f(0), f(1) et trouver que . On nous aide en nous disant que ln(3) équivaut à 1,1

c) Question un peu déstabilisante. Il suffit de calculer . On retombe sur l’expression de . (Et on sait que . Donc)

d) Question Scilab classique de dichotomie.

8) Question « bilan ». Il faut tracer la courbe à l’aide de tous les éléments trouvés précédemment !

Exercice 3 :

1.a) On a2=1/2 et b2=1/2 et ils forment un système complet d’évènement (SCE)

b) Attention car l’évènement B3 peut être obtenu de deux manières différentes, soit en touchant le secteur 2 de la cible A puis le secteur 1 de la cible A OU en touchant le secteur 1 de la cible A puis le secteur 2,3 ou 4 de la cible B. Le « OU » se traduira par un plus dans le calcul des probabilités. On a donc P(B3)= b3= (1/2)*(1/2))+(1/2)*(3/4)=5/8. Cqfd.

2) Cette question ne posait pas de difficulté particulière si ce n’est de bien citer et appliquer la formule des probabilités totales. Si l’on prend par exemple a(n+1) qu’il nous était demandé de calculer, on justifie bien que a(n+1) = P(An) x P(A(n+1)) sachant (An) = an x (1/2) d’après la formule des probabilités totales.

3) Pour cette question Scilab, il suffisait de recopier la formule par récurrence calculée dans la question 2, en veillant à bien respecter que l’écriture soit comprise par Scilab. On obtient ainsi b=(3/4)*b+(1/2)*a et a=(1/2)*a.

Attention, si on intervertit les lignes b=… et a=…, le résultat de b ne sera plus le même car la suite (bn) sera modifiée, et par conséquent, on obtiendra plutôt b(n+1)=(3/4)bn+(1/2)a(n+1) ce qui n’est pas la formule de récurrence de notre suite initiale.

4) Pour trouver ce résultat, il fallait reconnaitre que a(n+1)=(1/2)an correspond à la formule par récurrence de la suite géométrique (an). Or on sait que la formule explicite d’une suite géométrique (un) vaut u0*q^(n-1). Attention à bien considérer (n-1) et non simplement n car le premier terme de la suite commence au rang 1. En appliquant cette formule, on obtient bien le résultat qu’il nous est demandé de trouver.

5) a) Pour résoudre cette question, il suffisait de remplacer n par 1 dans la formule vn=2^(n-1)bn+2. Il fallait ensuite pour trouver v(n+1) en fonction de vn remplacer n par n+1 dans la formule précédente puis se servir de la formule explicite de (an) calculée à la question 4.

b) On reconnait d’après v(n+1)=(3/2)vn que (vn) est une suite géométrique de raison (3/2). On obtient la formule explicite suivante : vn = 2*(3/2)^(n-1)

c) Pour trouver la relation qu’il nous est demandé d’obtenir, on part de la formule de départ de vn exprimée en fonction de bn. Puis on isole bn et enfin, on remplace vn par notre formule explicite calculée dans 5)b).

6) Dans cette question portant une fois encore sur Scilab, il nous est demander de simuler une loi uniforme sur les entiers entre 1 et 4 cette fois-ci.

On écrit donc :

            Secteur = grand(1,1,’uin’,1,4)

Puis on souhaite passer à la cible C si on obtient le secteur 1. On doit écrire pour cela :

            If secteur==1 then cible=”c”

7) a) Obtenir le droit de tirer sur la cible C au bout de deux lancers revient à réaliser une prestation parfaite, soit viser le secteur 1 de la cible A puis le secteur 1 de la cible B. Cela correspond donc à la probabilité P(C3) qui vaut (1/2)x(1/4) = (1/8).

b) On considère une expérience où 2 issues sont possibles, un succès avec une probabilité de (1/8) et un échec de probabilité (7/8). On répète n fois l’expérience de manière indépendante et identique. On note alors Y le nombre de succès. Dans ces conditions, on peut affirmer que Y suit une loi binomiale avec n = 20. Donc Y(Omega)=[0 ;20] et la formule P(Y=k) vaut (k parmi n).(1/8)^k.(7/8)^(20-k) .

c) E(Y) = np = 20/8 et V(Y) = npq = 140/64

d) Pour trouver G, procédons en deux temps, en calculant d’abord les gains puis les pertes. Calculons d’abord les gains du forain.

Il reçoit 20×2=40€ nécessairement puisque chaque joueur tire au moins deux fois. Ceux qui accèdent à la cible C, qui sont au nombre de Y, tirent quant à eux une fois de plus. Le forain gagne donc 40€ + Y. Il perd ensuite Yx5. Si l’on somme le tout, on obtient :

G = 40 + Y – 5Y = 40 – 4Y. On retrouve bien 2(20-Y)-2Y = 40-2Y-2Y=40-4Y.

Pour trouver le gain moyen, il suffisait de calculer E(G)=E(40-4Y) et par linéarité, on obtient E(G)=40-4(20/8)=30.

Exercice 4 :

1) a) Pour t<0, la fonction est nulle. Pour 0, f est positive car (par croissance de l’exponentielle sur R. En appliquant la fonction inverse et en mettant le tout à gauche, on a f(t)

b) Sur t<0 ou t>0, f est continue (soit fonction nulle soit fonction qui est la différence de deux fonctions continues, donc la fonction est continue). En 0, en faisant la limite à gauche et à droite de 0, on a bien f(0)=0. Donc f est continue sur…

c) Calcul d’intégrale assez classique (il faut reconstruire une dérivé du type pour pouvoir primitiver)

d) C’est assez subtile ici, mais il faut revenir à la définition de f et utiliser la question c). f est la différence de deux intégrales, en posant a=1/2 et a=1. Dès lors, l’intégrale de la densité f est égale à 1/(1/2)-1=2-1=1

2) a) Pour x<0, f est nulle et donc F(x)=0

b) Pour x>0, Il suffit de revenir au cours et de calculer P(X<x)==(Par relation de Chasles)

3) a) C’est du cours.

b) La première intégrale est la définition de l’espérance de la variable aléatoire à densité Y (à une constante prêt, à faire apparaître (ici ) . Comme E[Y] existe, l’intégrale associée existe. Le calcul est automatique. (=)

c) Ici même astuce que pour la question 1)c. On remarque que f est la différence de deux intégrales liées à la variables aléatoire Y. En posant et , la différence des deux intégrales, d’après la 3)b), donne 3 ! (1/(1/2)^2) – (1/1^2)=3)