Ô toi, cher préparationnaire de deuxième année qui commence l’algèbre bilinéaire, sache que cette partie du programme est sûrement l’une des plus importantes. Tous les ans, les candidats qui planchent pour les concours de la BCE et d’Ecricome ont droit à un problème entier d’algèbre bilinéaire. Heureux sont ceux qui ont bien assimilé le cours d’algèbre, mais plus heureux encore sont ceux qui, à force de travail et de détermination, ont su se souvenir des méthodes archi-classiques pour venir à bout de ces problèmes qui ressassent souvent les mêmes questions.
Dans ce problème, nous abordons l’exemple de la matrice de Gram, omniprésente dans les annales de mathématiques (voir HEC I 2019), mais également le fameux théorème de la décomposition polaire (toute matrice inversible peut s’exprimer comme le produit d’une matrice orthogonale et d’une matrice symétrique réelle définie positive). Ces deux notions font intervenir d’innombrables méthodes à savoir absolument par cœur ! Citons de manière non exhaustive la caractérisation des formes quadratiques et de leurs liens avec les valeurs propres des matrices associées, la maîtrise dans les calculs de normes, de produits scalaires et de produits matriciels.
À vos stylos !
