En ECT, le chapitre des suites est assez important, car on en retrouve partout. Il est donc primordial de reconnaître le type de suite afin de gagner du temps : on peut ainsi appliquer directement les propriétés apprises et gagner facilement des points. En ECT, on distingue principalement trois types de suites : les suites arithmétiques, les suites géométriques et les suites arithmético-géométriques.
Suite arithmétique
Pour prouver qu’une suite n’est pas arithmétique, on peut montrer que deux différences successives sont différentes, par exemple : U1 − U0 ≠ U2 − U1.
Pour prouver qu’une suite est arithmétique, on doit montrer que, pour tout entier n, Un+1 − Un = r, où r est la raison de la suite.
Relation de récurrence :
Un+1 = Un + r
Le terme général (Un en fonction de n) :
Un = U0 + n*r
Plus généralement :
Un = Up + (n − p)*r
Exemple :
On considère la suite (Un) définie par U0 = 5 et Un+1 = Un + 3.
Pour montrer que (Un) est arithmétique et trouver sa raison, on calcule Un+1 − Un.
Donc Un + 3 − Un = 3. La différence étant constante, la suite (Un) est bien arithmétique et de raison 3.
Maintenant, pour déterminer le terme général, comme on connaît le premier terme et la raison, on fait appel à la formule : Un = U0 + n*r.
Donc Un = 5 + 3n.
Suite géométrique
Pour prouver qu’une suite n’est pas géométrique, on peut montrer que deux quotients successifs sont différents, par exemple : U1/U0 ≠ U2/U1, à condition que les dénominateurs soient non nuls.
Pour prouver qu’une suite est géométrique, on doit montrer qu’il existe une constante q telle que, pour tout entier n, Un+1 = q*Un. Le réel q est la raison de la suite.
Relation de récurrence :
Un+1 = q*Un
Le terme général (Un en fonction de n) :
Un = U0*\({q}^{n}\)
Plus généralement :
Un = Up*\({q}^{n-p}\)
Exemple :
On considère la suite (Un) définie par U0 = 2 et Un+1 = 3*Un.
Pour montrer que (Un) est géométrique et trouver sa raison, on vérifie que Un+1 = q*Un. On constate que la suite (Un) est bien géométrique et de raison 3, car chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par 3.
Maintenant, pour déterminer le terme général, comme on connaît le premier terme et la raison, on fait appel à la formule : Un = U0*\({q}^{n}\).
Donc Un = 2*\({3}^{n}\).
Suite arithmético-géométrique
La suite (Un) est arithmético-géométrique lorsqu’il existe deux réels a et b, indépendants de n, avec a ≠ 1, tels que :
Un+1 = a*Un + b
Pour trouver le terme général, on doit, dans un premier temps, trouver le point fixe α. Pour cela, on remplace Un+1 et Un par α :
α = a*α + b
On résout l’équation pour trouver α.
On en déduit le terme général de la suite (Un) :
Un = α + (U0 − α)*\({a}^{n}\)
Plus généralement :
Un = α + (Up − α)*\({a}^{n-p}\)
Exemple :
On considère la suite (Un) définie par U0 = 2 et Un+1 = 0,5*Un + 3.
On cherche α :
α = 0,5*α + 3
α − 0,5*α = 3
0,5*α = 3
α = 6
Ainsi, le terme général de la suite (Un) est :
Un = 6 + (2 − 6)*\({0,5}^{n}\)
Un = 6 − 4*\({0,5}^{n}\)
Pour réussir les exercices de concours, il faut savoir reconnaître rapidement le type de suite, identifier sa raison ou son point fixe et appliquer la bonne formule du terme général.L’essentiel est de connaître ces méthodes et de s’entraîner à les appliquer dans des exercices classiques. Cela permet de gagner du temps pendant l’épreuve et de sécuriser des points qui peuvent faire la différence au concours.
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