Le chapitre des matrices en ECT permet de gagner beaucoup de points… mais aussi un temps précieux, à condition de connaître les méthodes par cœur. Il existe deux récurrences incontournables à maîtriser. Elles reviennent très souvent aux concours et, le jour J, chaque minute compte. Les apprendre par cœur vous permettra d’aller beaucoup plus vite et de sécuriser facilement des points.
Récurrence n°1 :
Lorsque la question est de démontrer que Mⁿ = PDⁿP⁻¹ et qu’avant on a montré que P est inversible ainsi que M = PDP⁻¹, alors il faut retenir la méthode suivante :
Définition :
Pour tout entier naturel n, on note Hn: “Mⁿ = PDⁿP⁻¹”
Initialisation :
Pour n = 0,
D’une part : M⁰ = I.
D’autre part :
PD⁰P⁻¹
= PIP⁻¹ (Toute matrice carrée élevée à la puissance 0 est égale à I.)
= I.
Donc M⁰ = PD⁰P⁻¹, donc H₀ est vraie.
Hérédité :
Soit n ≥ 0 un entier naturel.
Supposons Hn : « Mⁿ = PDⁿP⁻¹. »
Montrons Hn+1 : « Mⁿ⁺¹ = PDⁿ⁺¹P⁻¹. »
On sait que Mⁿ = PDⁿP⁻¹ (et d’après la question précédente, M = PDP⁻¹).
Donc MⁿM = PDⁿP⁻¹M (on multiplie les deux membres par M).
Donc Mⁿ⁺¹ = PDⁿP⁻¹PDP⁻¹ (remplacer M par PDP⁻¹).
Donc Mⁿ⁺¹ = PDⁿ I DP⁻¹.
Donc Mⁿ⁺¹ = PDⁿDP⁻¹ (car Dⁿ × D = Dⁿ⁺¹).
Donc Mⁿ⁺¹ = PDⁿ⁺¹P⁻¹.
Ainsi Hn+1 est vraie.
Conclusion :
Pour tout entier naturel n, Hn est vraie, i.e Mⁿ = PDⁿP⁻¹.
Attention : il arrive qu’une fraction apparaisse devant une matrice. Ne vous laissez pas déstabiliser : le raisonnement est exactement le même.
Lire plus : Maths ECT: maitriser les matrices (partie 1)
Récurrence n°2:
Lorsque la question est de démontrer que Xn = AⁿX0 et que l’on a montré auparavant que Xn+1 = AXn, il suffit de retenir la méthode suivante :
Définition :
Pour tout entier naturel n, on note Hn : “Xn = AⁿX0”
Initialisation :
Pour n = 0,
A⁰X0
= IX0
= X0
Donc X0 = A⁰X0, donc H₀ est vraie.
Hérédité :
Soit n ≥ 0 un entier naturel.
Supposons Hn : « Xn = AⁿX0. »
Montrons Hn+1 : « Xn+1 = Aⁿ⁺¹X0. »
On sait que Xn = AⁿX0 (et d’après la question précédente Xn+1 = AXn).
Donc AXn = AAⁿX0 (je multiplie par la matrice A des deux côtés).
Donc Xn+1 = Aⁿ⁺¹X0 (on remplace AXn par Xn+1 puisque cela a été démontré précédemment et pareil AAn = Aⁿ⁺¹).
Ainsi Hn+1 est vraie.
Conclusion :
Pour tout entier naturel n, Hn est vraie, i.e Xn = AⁿX0.
Bien sûr, il existe d’autres récurrences sur les matrices, mais ces deux-là sont de loin les plus fréquentes. Chaque année, au moins l’une d’elles apparaît dans les sujets de concours. Les connaître par cœur, c’est s’assurer des points presque gratuits tout en gagnant un temps précieux le jour de l’épreuve.
Lire plus : Maths ECT: maitriser les matrices (partie 2)
