Mathématiques E EMLYON 2022 – Analyse du sujet #2

Après un sujet au format inhabituel l’an passé, avec seulement 2 (très) gros problèmes, l’épreuve EML retrouve ses standards, à savoir cette fois-ci 3 problèmes.

Comme pour l’épreuve Ecricome de la semaine passée, le sujet EML est à nouveau extrêmement long. Il y a certes un peu moins de questions, mais le rédiger m’a pris un temps à peu près similaire (environ 3 h pour un prof, ce qui laisse à penser que 4 heures sont bien loin d’être suffisantes pour les candidats).

Le contenu n’est pas un copier-coller d’Ecricome, mais pas loin. L’ordre et la taille des exercices diffèrent, mais on retrouve les mêmes thèmes.

On commence par un problème de probabilités discrètes, suivi d’un exercice d’algèbre linéaire (qui est clairement le moins long), et enfin une étude de fonctions.

On balaye un grand nombre d’énoncés classiques, aussi bien de 1ere que de 2e année, mais certains thèmes sont laissés de côté, et il s’agit à nouveau des variables aléatoires à densité et des statistiques.

Le sujet n’est pas d’un niveau technique très difficile, dès lors que l’on est a l’aise en calcul. Comme on l’a dit, la longueur du sujet le rend compliqué à finir, et il fallait trouver un bon compromis entre aller vite et rédiger soigneusement. Cela étant, le nombre élevé de questions donne à chaque candidat la possibilité de produire des choses intéressantes dans le ou les thèmes où il se sent à l’aise.

Voyons maintenant un peu plus en détail quelles étaient les attentes des différentes questions.

Exercice 1

Partie A.

Une entrée en matière tranquille avec une transformée affine de loi géométrique (1) et ses conséquences sur l’espérance et la variance (2), ainsi que la simulation informatique à partir du générateur « rand » (3).

Partie B.

On rentre dans le vif du sujet avec une belle modélisation concrète, à savoir la machine à sous du casino.

On commence par une question d’informatique (4). Il s’agit déjà de la dernière du sujet, avec à nouveau seulement deux lignes à compléter. C’est assez rare pour être souligné.

L’étude d’une suite de probabilités commence ensuite avec le classique théorème de la limite monotone (5) pour obtenir la convergence, suivi de la version probabiliste pour obtenir la valeur de la limite (6).

La (7) fait intervenir quelques classiques probabilistes : l’indépendance et la formule des probabilités totales.

Vient ensuite un enchaînement de questions autour du théorème du point fixe (8), avec notamment la 1ere récurrence du sujet (c). On conclut ensuite sur un affinement de la stratégie du casino (d).

Partie C.

Après avoir décrit l’évènement, la (9) se traite ensuite grâce à une réunion disjointe, suivi de nouvelles récurrences(10) et (11a). La série harmonique permet de conclure la (11b).

Les questions suivantes (12) nous font faire un peu de calcul sur des suites, puis on termine par une convergence par majoration. Il fallait bien utiliser les hypothèses pour justifier, et notamment p>1/2.

La conclusion finale de l’exercice (13) se fait en observant les résultats (donnés par l’énoncé ou presque) des questions 11 et 12. Il faut prendre p=1/2 pour que la ruine du joueur soit la plus lente possible (temps d’attente d’espérance infinie), et qu’il ait le temps de passer beaucoup de temps à consommer au bar !

Exercice 2

Il s’agit d’un exercice relativement court et facile, où il ne fallait pas hésiter à jongler entre l’application f et la « trace » (définie dans l’énoncé).

On commence, en explicitant les matrices, par l’étude de l’application « tr », linéarité (1a) et noyau (b). La question (2) nous propose une nouvelle étude de linéarité, à laquelle on ajoute la stabilité de l’ensemble pour obtenir un endomorphisme.

Arrive ensuite l’enchaînement lié au polynôme annulateur (b). Un seul candidat, et donc une seule valeur propre. La non diagonalisabilité (c) s’obtient par l’absurde, et l’inversibilité (d) par le retour à la définition grâce au polynôme annulateur.

Après s’être ramené à la trace (cf 1b), on se rend compte que l’on a déjà répondu à la (4a).

Les questions (4b) et (c) sont centrées autour de la condition nécessaire et suffisante de diagonalisation (somme des dimensions des s.e.p.), et associées à quelques calculs d’images par f.

Pour les deux dernières questions de conclusion de l’exercice, on se rend compte que les différents cas ont pu être étudiés grâce aux questions précédentes, mais il était nécessaire d’avoir pu déterminer toutes les valeurs propres.

Exercice 3

L’étude de fonction, en 3 parties et se terminant par une fonction de deux variables, comme pour Ecricome, est clairement l’exercice le plus long du sujet. Là aussi, suivant sa vitesse et ses connaissances, il y avait de nombreuses opportunités de prendre des points.

Partie A.

On retrouve toutes les questions classiques d’une étude de fonction basique :

(1) justification de la continuité (sur un intervalle « sans problème » et en un point « problématique »)

(2a) détermination d’un minimum de fonction par étude de ses variations

(b) calcul de dérivée

(c) conclusion grâce au signe de la fonction intermédiaire.

(3a) développement limité, appliqué au taux d’accroissement (b)

Seule la (3c) est moins courante, puisqu’il faut appliquer la définition de la continuité à f ‘ (le programme n’encourageant plus le théorème de prolongement de la dérivée).

(4) calculs de limites (l’une par croissances comparées, l’autre sans forme indéterminée)

(5) tracé du graphe, avec en premier lieu la tangente (grâce à f ‘(0)) et l’asymptote

Partie B.

Cette partie est le gros morceau du problème. On commence avec les différents outils du calcul intégral : le théorème de la borne supérieure (6), un changement de variable (7a), et une intégration par parties (7c), au milieu de quoi s’intercale une somme finie géométrique (7b).

Après un théorème des valeurs intermédiaires (d-i), quelques convergences d’intégrales sont ensuite obtenues par majoration (d-ii) et linéarité (e). Les résultats attendus s’obtiennent quant à eux par passage à la limite.

Le résultat suivant (8a) est une conséquence de la (6), par composition et combinaison linéaire. Il fallait ensuite vérifier que la dérivée, puis ensuite la fonction, étaient nulles (b), pour conclure par prolongement par continuité (c).

Partie C.

Quelques calculs avec une dérivation composée (9a) permettaient de s’en tirer, et d’aboutir à un système symétrique (b) où y=x tombait assez rapidement.

Il n’était pas nécessaire d’aller au bout des calculs de dérivées partielles secondes (10a). Le tout était de les appliquer dès que possible en (-1,-1) pour obtenir les valeurs attendues. Le déterminant (b) permettait ensuite de conclure à un point col (11).