Maths 2 Appliquées ESSEC 2023 – Analyse du Sujet

Le sujet de Maths appliquées 2 ESSEC de cette année était bien plus long que celui de l’année dernière pour les ex-ECE, et aussi bien plus difficile. Pas de panique : si l’épreuve est difficile pour vous, alors elle l’est pour tout le monde. 

PARTIE 1

1. On trouve le résultat facilement avec la formule des probabilités totales et le sce (Xt=i).
   
   
2. Utiliser Bayes puis la formule des probabilités totales avec le sce ( Xt+h=j) On se sert ensuite de H4 et H5 pour aboutir au résultat demandé, en scindant la somme en 2 pour le cas j=i et j/=/i. Il fallait également se souvenir que o(h)+o(h) = o(h).
   Pour la fin de la question, il fallait se souvenir de la définition du petit o pour supprimer le h à l’aide de la limite d’un quotient.
   
   
3. a) Il faut ici s’inspirer des hypothèses de l’énoncé.
   
   b), il faut bien comprendre que fj(t+h) = P(Xt+h=j), et se rappeler que o(h)/h=o(1), puis que lim qd h->0 de o(1)=0. Ceci étant dit, on remarque que lim qd h tend vers 0 de ( fj (t+h)- fj(t)) / h = fj'(t) avec la formule du taux d’accroissement.
   
   c) Question relativement simple : il suffit d’expliciter Lt et G puis d’utiliser la b).
   
   
4. Application classique du théorème de transfert. On a bien la convergence de l’intégrale puisque 0<fi<1 d’après l’énoncé.
   
   
5. a) ici, il faut avoir à l’esprit que n=2 donc f1+f2=1 car f1(t) =P( Xt=1) et f2(t) = P(Xt=2). Comme le support est {1;2}, la somme des probas vaut bien 1 donc f1+f2=1. Alors, on obtient grâce à 3)c) que f1′ = -af1 +bf2, puis on conclut grâce à l’égalité ci-dessus.
   
   b) On trouve p comme solution particulière de l’équation différentielle, et on se rapporte au cours pour trouver les solutions de l’équation homogène. Seule cette solution convient ( se rappeler que alpha = f1(0) )
   Idem, p=1-q donc f2 se trouve directement car f2=1-f1.
   
   c) faire une distinction de cas : soit alpha > p soit l’inverse, et montrer que f1(t) est bien minorée par min(alpha,p) et majorée par max ( alpha, p) dans chacun des 2 cas. Le calcul de limite est simple, il n’y a pas de fi.
   
   d) Comme on a f1 dans la question b), on peut potentiellement la primitiver pour effectuer le calcul de l’intégrale.
   
   
6. a) Prendre le vecteur u=(1 1 1) et faire GuT pour montrer que 0 est valeur propre. Idem avec v=(1 -2 0) pour montrer que -1/10 est valeur propre. Idem pour w=(1 1 -1) pour montrer que -1/6 est valeur propre.
   
   NB : Cette question est extrêmement discriminante car à part pour 0, trouver un vecteur propre associées aux autres valeurs propres peut être très long… alors qu’il suffit de regarder les lignes de la matrice b) de la question suivante pour avoir la réponse.
   
   b) G est diagonalisable d’après a). La matrice diagonale est alors diag (0,-1/10,-1/6)
   
   c) Question calculatoire mais très accessible.
   
   d) on doit ici résoudre un système. 
   
   e) on résout des équations différentielles homogènes, avrc le fait que beta = y2(0) et yota = y3(0). La conclusion est plus difficile à prouver.
   
7. a) s’obtient avec l’énoncé.
   
   b) s’inspirer de la a) en divisant par P(X0=i) avec la formule des probabilités conditionnelles et en précisant que la probabilité est non nulle. On a une fi pour la limite, on doit passer à l’exponentielle pour obtenir le résultat souhaité. On reconnaît une loi exponentielle de paramètre Bi. 
   
   c) s’inspirer de b) et de l’énoncé .
   
   d) on a une fonction continue sur R et C1 sauf éventuellement sur un nombre fini de points. Penser à passer par la contraposée pour avoir la fonction de répartition, puis dériver en gardant en tète qu’on dérive par rapport à x et donc qu’on gardera une somme avec P(X0=k) dans l’expression de la densité. Ne pas oublier de distinguer le cas x<0. 
   
   e) question plus difficile mais abordable si on a trouvé la réponse de d).
   

   
   PARTIE 2
   

8.  Question assez longue, surtout la b). Ce sont des calculs néanmoins accessibles si on a l’énoncé en tête. La c) demande très sûrement de s’inspirer de b). Enfin, une récurrence sera suffisante pour la question d). Pour l’initialisation, prendre s=0. Pour l’hérédité, M((k+1)t)= M(kt+t) = M(kt)M(t) d’après c), qui est égal à (M(t))^(k+1) d’après l’hypothèse de récurrence. 
   
   
9. Les questions de python de la sont assez difficiles mais récompenseront les élèves qui se sont battus avec le sujet.
   
   
   

   PARTIE 3

10. a) Une récurrence devrait suffire en déterminant G^2.
    
    b) Utilisation du binôme de Newton avec les matrices. Attention à bien justifier que I3 et (t/k)G commutent. Attention, la formule de la 10)a) ne fonctionne pas avec i=0, d’où le I3 qui sort de la somme. Le I3 disparaît car G I^(n-k) = G, et en utilisant 10)a).
    
    c) encore un binôme de Newton, il faut bien penser à sortir (alpha + beta) de la somme pour tout mettre sous la puissance i. Attention encore une fois, la somme commence à i=1 et non pas i=0, d’où le 1-…. au numérateur !
    
    Il s’agit ensuite d’un calcul de limite. (voir la notation de la partie 2). On obtient une fi dont il convient de se débarrasser avec un passage à l’exponentielle, ainsi que l’utilisation d’un équivalent.
    
    d) s’inspirer de la partie 1) pour voir clairement ce qu’on demande. Utiliser la question c) pour aboutir aux résultats demandés.
    
    e) La question semble plutôt longue.
    
    
11. a) Mettez 1/9 en facteur pour vous simplifier la vie. U est un polynôme annulateur de A. 
    
    b) U(x) = x(x^2-2x+1) = x(x-1)^2
    U(1)=0 donc on doit juste remplacer x par 1 pour la valeur de (1+Ø/k)^k. Pour la valeur de c il suffit de remplacer x par p. 
    
    c) rien de très difficile pour le début.
    S’inspirer de b) pour avoir un système. 
    

    d) difficile de s’y retrouver mais on peut y arriver si on comprend bien l’énoncé. Encore une fois, pas grave de ne pas avoir traité une telle question.
    

    
    PARTIE 4

    On introduit ici la norme d’une matrice (hors-programme)
    
    
12. Question facile. La somme des valeurs absolues de la dernière ligne fait 4/3+ 2/3 =2.
    
    
13. a) s’inspirer de 11)d).
    
    
14. 14)a) question facile, il s’agit de montrer l’inégalité triangulaire avec les normes. On l’obtient à l’aide de l’inégalité triangulaire avec les valeurs absolues. 
    
    b) question simple si on comprend bien ce que fait la norme de A. 
    
    c) Démonstration de l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Si le début de la question peut etre difficile à ce niveau de l’épreuve, la fin est une récurrence très simple qui utilise la 1ère partie de la question.
    
    d) Cette question est vraiment triviale, il suffit de développer.
    
    e) récurrence accessible si on s’inspire de d). Il peut être utile de faire une distinction de cas.
    
    
15. questions plus difficiles qui demandent de s’inspirer à la fois de la partie IV mais aussi des autres parties. 
    
    

BILAN 

Un bon sujet de Maths 2, très long et vraiment plus difficile que celui de l’année dernière. Ce sujet va vraiment valoriser les élèves qui se sont battus jusqu’au bout : il est vraiment possible d’avoir une note plus que correcte à cette épreuve si on a les bons réflexes : 

• lire le sujet avant de commencer, 
• ne pas passer trop de temps sur une question, 
• s’inspirer des questions précédentes (voire même des questions suivantes comme pour la question 6)a)).

Bref, un sujet extrêmement discriminant ! 

Il ne sera évidemment pas nécéssaire de tout faire pour avoir 20, pas d’inquiétude si vous avez trouvé le sujet difficile ou même assez étonnant : environ 55/60% du sujet devrait suffire pour obtenir la note maximale. 

En tout cas, il était possible d’avoir un bon résultat même sans être un crack en maths : juste en faisant les bonnes questions, et en suivant les conseils des rapports de jury des dernières années. 

Nous vous souhaitons désormais bon courage pour les oraux !! Toute l’équipe de Mister Prépa est avec vous !!