Maths Appliquées ECRICOME 2023 – Analyse du Sujet

A première vue, le sujet a l’air moins difficile que le sujet 0. Toutefois, il n’en reste pas moins long : il ne sera donc pas nécéssaire de faire tout le sujet pour avoir la note maximale.

EXERCICE 1

1. On est en situation d’équiprobabilité, donc X suit une loi uniforme sur [1;n]. E(X)= (n+1)/2, V(X)= (n^2 -1)/12.
2. On peut avoir Y=n comme Y=1 en fonction de la valeur de X. Le support est donc [1;n].
3. a) Si X=1, il y aura 1 boule dans la deuxième urne. Si X=2, il y en aura 1+2. Si X=3, il y en aura 1+2+3=6. En bref, le nombre de boules dans la seconde urne vaut la somme des j de 1 à k= k(k+1)/2.

   b) bien distinguer les cas : si j est supérieur à k+1, l’évènement est impossible donc de proba 0. Sinon, la proba vaut cas favorable / cas possible = j/(somme des i allant de 1 à k) = 2j/(k(k+1)).

4. a) Mettre sur le même dénominateur : a= 1, b=-1. Question classique.

   b)Utiliser la FPT avec le sce (X=k) et en se servant de la question précédente.

5. Y admet une espérance car son support est fini. Cette question est un peu calculatoire.
6. On pouvait deviner que non avec la question  7): en effet, si elles étaient indépendantes alors leur covariance serait nulle. Pour un contre exemple, on pouvait dire que la proba de (X=1)inter(Y=2) vaut 0 ( car impossible) alors que la proba de (Y=2) est non nulle, comme celle de (X=1).
7. Question un peu calculatoire mais faisable. Pour la b), revenir à la formule cov(XY)=E(XY)-E(X)E(Y).
8. Ces questions python sont normalement accessibles aux candidats ayant révisé l’informatique. Il faut bien comprendre l’exercice pour faire la b) et la c).

CONCLUSION : Exercice classique avec quelques questions calculatoires. Les étudiants qui se sont accrochés et qui ont bien avancé dans l’exercice devraient gagner beaucoup de points

EXERCICE 2

1. a)Attention à bien rappeler que x est non nul pour la dérivabilité. Calcul un peu fastidieux mais en s’accrochant on y arrive.

   b) Question abordable en remarquant que f est positive sur R+*.

   c) s’inspirer de b)

   d) ATTENTION A LA REDACTION DU THEOREME DE LA BIJECTION : strictement monotone, continue, et utilisation des limites. Il fallait l’utiliser deux fois pour avoir les deux solutions ( sur deux intervalles différents pour avoir l’inégalité demandée).

2. a) s’inspirer du fait que f(vn)=n et calculer vn+1-vn.

   b) supposer que la suite est majorée et on arrive à une contradiction.

3. a)b) Décroissante minorée par 0 : Converge d’après le TLM.

   c) Utiliser le fait que f soit continue, supposer que Un ne tend pas vers 0 ce qui donne donc que lim f(un) est finie, absurde car lim n ne l’est pas !

   d) l’équivalent cherché est 1/n^2

4. Algorithme de dichotomie. Question classique mais difficile si on n’en a jamais vu. 

EXERCICE 3

          Partie 1

1. a) montrer que B appartient à R4, que la famille est libre et que card(B) = dim(R4)

   b) calculer f(u1), etc.  avec ces calculs on devrait pouvoir trouver les valeurs propres.

   c) P doit se déduire avec les vecteurs u1 u2 u3 u4 et pour T il faut mettre les valeurs propres en diagonale.

2. a) Calcul accessible.

   b) À l’hérédité, remplacer A^3 par le résultat de la 2)a) pour aboutir.

3. a) remplacer, le résultat de la 2)a), n par n+1 et remplacer bn par -4an.

   b) suite récurrente linéaire d’ordre 2 : il faut résoudre l’équation caractéristique et appliquer la formule du cours.

   c) bn= an+1 -4an d’après 2)a). Il suffit de remplacer an et an+1 par les valeurs trouvées en 3)b).

4. Question très calculatoire mais toujours classique,  qui peut valoir pas mal de points. Utiliser la question 2) pour savoir ce que vaut A^n, puis remplacer an et bn par leurs valeurs dépendant uniquement de n.

   Partie 2 

5. a) On appelle matrice d’adjacence associée au graphe G la matrice dont le terme a(i,j) vaut 1 si les sommets et sont reliés par une arête et 0 sinon.

   b) nombre de chemins possibles de longueur n entre si et sj.

6. a) Regarder si on peut atteindre n’importe quel sommet en partant d’un sommet.

   b) On voit que dans A^n, il n’y a aucun chemin de longueur n entre s0 et s1. Donc le graphe n’est pas connexe ( car ce resultat est valable pour tout n entier positif )

   c) Reprendre la question 4) : à première vue, il y en a 2^(n-1)

La fin de l’exercice semble assez difficile, et viendra récompenser les candidats qui ont bien travaillé Python.

BILAN DE L’ÉPREUVE : 

Le sujet de Maths Appliquées ECRICOME 2023 était plus facile que celui de l’année dernière, et bien plus facile que le sujet 0 de cette année. Il y avait beaucoup de questions classiques, mais aussi des questions très calculatoires et donc sûrement peu abordées par les candidats. 

Par contre, la surprise de ce sujet est la présence du Python (avec des questions difficiles, surtout à la fin de l’exercice 4) : nul doute que les candidats ayant beaucoup travaillé l’informatique gagneront beaucoup de points.

Ne vous inquiétez pas si vous n’avez pas tout traité ! Comme dit précédemment, vous pouvez avoir une note très correcte même si vous n’avez pas tout fait. 

Bon courage pour la suite, ne lâchez rien ! Mister Prépa vous soutient à fond pour la suite des concours !!