Découvrez l’analyse du sujet de mathématiques appliquées du concours ECRICOME 2024, une épreuve incontournable pour les étudiants de prépa ECG !
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Analyse du sujet de Maths Appliquées ECRICOME 2024
Le sujet de maths Écricome 2024 présente une structure classique, avec trois exercices variés couvrant un large éventail de notions du programme. Chacun de ces exercices offre une opportunité aux candidats de démontrer leur maîtrise des concepts clés, faisant de ce celui-ci, un sujet stimulant pour les candidats.
Le premier exercice porte sur les probabilités, le deuxième sur l’analyse, et le dernier sur l’algèbre. De plus, le sujet inclut plusieurs questions impliquant des notions Python, en faveur de ceux qui ont étudié cette partie du programme de mathématiques.
Il est important de noter que, en raison de la longueur du sujet, il est possible d’atteindre la note maximale sans nécessairement avoir terminé le sujet.
Voici quelques pistes de résolution pour chaque question :
Exercice 1
Partie I
1.(a) Pour calculer pour tout entier naturel k, vous pouvez utiliser la formule de la loi géométrique. Pour une variable aléatoire X suivant une loi géométrique de paramètre p, la probabilité P(X > k) correspond à la probabilité que la première réussite se produise après k échecs, ce qui est (1-p)^k.
Ainsi, P(X > k)= (1-p)^k pour tout entier naturel k.
(b) Pour vérifier l’égalité, appliquez la formule précédente pour k-1 puis calculez le rapport .
2.(a) Pour exprimer P(X = k) à l’aide de la fonction , utilisez la relation P(X = k) = P(X > k-1) – P(X > k).
(b) Si X et Y suivent la même loi, alors P(X = k) = P(Y = k) pour tout k, ce qui implique que Rx(k)=Ry(k) pour tout k. En utilisant cette condition, vous pouvez montrer que si Rx(k)=Ry(k) pour tout k, alors X et Y suivent la même loi.
Partie II
3. Pour déterminer les réels a et b, vous pouvez commencer par réécrire l’expression donnée sous la forme d’une somme téléscopique. Ensuite, comparez les termes de cette somme avec les termes de la série téléscopique classique pour identifier les valeurs de a et b.
Une fois que vous avez trouvé a et b, vous pouvez passer à la partie (b) pour déterminer la convergence de la série et calculer sa valeur en utilisant la méthode de la sommation télescopique.
4.(a)Pour montrer que la variable aléatoire X+1 admet une espérance, utilisez le théorème de transfert et la définition de l’espérance. Attention à d’abord prouver la convergence de la série avant d’écrire l’égalité. Ensuite, calculez cette espérance en utilisant la formule donnée pour P(X = n).
(b) Une fois que vous avez trouvé E(X + 1), passez à la question (b) pour montrer que la variable aléatoire (X – 1)(X + 1) admet une espérance et calculez-la en utilisant les propriétés de l’espérance. Il s’agit de la même méthode qu’à la question a.
(c) Enfin, utilisez les résultats obtenus pour montrer que X admet une variance et calculez-la en utilisant la définition de la variance V(X) = E(X^2) – (E(X))^2).
Partie III
5. Pour justifier la relation demandée pour tout entier naturel k non nul, on peut utiliser la définition de Rx(k) comme la probabilité que la machine fonctionne jusqu’à l’année k. Ainsi, si la machine fonctionne encore à l’issue de l’année k-1, alors elle cesse de fonctionner à la fin de l’année k avec une probabilité alpha_k. Sinon, elle continue de fonctionner avec une probabilité (1 – alpha_k). Dès lors, la probabilité que la machine fonctionne jusqu’à l’année k peut être exprimée comme la probabilité que la machine fonctionne jusqu’à l’année (k – 1), multipliée par la probabilité que la machine ne tombe pas en panne à l’année k.
6. En utilisant cette relation, on peut en déduire que pour tout entier naturel k non nul, la probabilité que la machine fonctionne jusqu’à l’année k est le produit des probabilités successives que la machine ne tombe pas en panne jusqu’à cette année.
7. En substituant l’expression de Rx(k) de la question 2)a par celle obtenue à la question précédente cette expression dans P(X = k) de la question 2.(a), vous obtiendrez une expression de P(X = k) en fonction des termes de la suite alpha_i .
8.(a) Dans cette question uniquement, où la suite est constante, nous reconnaissons la loi de X qui suit une distribution de probabilité discrète dont la probabilité de chaque durée de vie k suit une distribution de Bernoulli avec un paramètre de succès p.
(b) Vous pouvez utiliser l’expression obtenue à la question 6 et procéder à des calculs pour exprimer P(X = k). Une fois que vous avez cette expression, vous pouvez identifier la loi de X en la comparant avec des distributions connues.
Partie IV
9.(a) Requête SQL pour déterminer le nombre total d’ordinateurs produits :
SELECT COUNT(id) AS nombre_total_ordinateurs FROM ordinateur;
(b) Requête SQL pour déterminer le nombre d’ordinateurs ayant cessé de fonctionner exactement un an après leur production :
SELECT COUNT(id) AS nombre_ordinateurs_panne_un_an
FROM ordinateur
WHERE annee_panne = annee_fabrication + 1;
(c) Pour estimer le paramètre p de la loi géométrique, vous pouvez utiliser les résultats des requêtes précédentes. Par exemple, vous pouvez estimer p en calculant le rapport entre le nombre d’ordinateurs ayant cessé de fonctionner exactement un an après leur production et le nombre total d’ordinateurs produits.
10. Requête SQL pour mettre à jour la durée de vie des ordinateurs dans la table ordinateur :
UPDATE ordinateur
SET duree_vie = CASE
WHEN annee_panne = -1 THEN -1
ELSE annee_panne – annee_fabrication
END;
11.(a) En calculant la moyenne de la durée de vie des ordinateurs à l’aide de la requête SELECT AVG(duree_vie) FROM ordinateurs, nous obtenons une estimation de la valeur moyenne de la durée de vie. Cette moyenne peut être utilisée comme une approximation du paramètre p de la loi géométrique.
(b) En utilisant les requêtes suivantes :
SELECT COUNT(*)/10000 FROM ordinateurs WHERE duree_vie = 1
SELECT COUNT(*)/10000 FROM ordinateurs WHERE duree_vie = 2
SELECT COUNT(*)/10000 FROM ordinateurs WHERE duree_vie > 24
Nous obtenons des estimations empiriques de la probabilité qu’un ordinateur tombe en panne après 1, 2 ou plus de 24 unités de temps. En comparant ces probabilités empiriques avec les probabilités théoriques d’une distribution géométrique pour les mêmes durées, nous pouvons évaluer la pertinence de la modélisation de la durée de vie des ordinateurs
par une variable aléatoire de loi géométrique. Si les probabilités empiriques correspondent raisonnablement bien aux probabilités théoriques pour une distribution géométrique avec le même paramètre p, alors il est raisonnable d’utiliser cette modélisation.
Exercice 2
Partie II
4. Vous devez d’abord résoudre l’équation homogène y’ = 2ay. Ensuite, utilisez la séparation des variables pour isoler y d’un côté et x de l’autre. Enfin, il faut intégrer les deux parties de l’égalité pour obtenir la solution générale.
Attention à bien justifier la continuité des fonctions sur l’intervalle adéquat pour l’intégration.
5. Il faut commencer par montrer que la fonction Fa est dérivable sur R en utilisant le théorème fondamental du calcul intégral. Pour déterminer Fa'(x), nous pouvons dériver par rapport à x. Ensuite, utilisez les propriétés des intégrales et des fonctions exponentielles pour déterminer l’égalité. Enfin, pour prouver que Ia est dérivable nous rappelons le fait que les fonctions Fa et Ja le sont également sur R.
6. L’ensemble des solutions de (1) ont été déterminées dans les questions précédentes.
7. Vous devez examiner trois cas différents : a < 0, a = 0 et a > 0. Nous devonns utiliser le résultat de la question 3(c), qui donne des informations sur le comportement de lorsque x tend vers +pour chaque valeur de a.
Partie III
(a) Il s’agit d’une question de cours.
Il ne faut pas se tromper sur ce genre de question.
(b) Pour tracer l’allure de sa courbe représentative dans le cas a = 2, nous utilisons l’expression de la densité de X avec mu = -2 et sigma^2 =.
9.(a) L’expression P(X > x) peut être exprimée sous forme d’intégrale de la densité de probabilité de X pour les valeurs supérieures à x.
(b) En utilisant l’expression obtenue à la question précédente et les propriétés de la loi normale, vous obtiendrez l’égalité demandée.
10.(a) Pour que alphaZ+bêta suive la même loi que X, nous utilisons les propriétés de linéarité de la loi normale. Ainsi, nous avons :
- alpha = 1/sqrt(2)
- bêta = -a
(b) Pour compléter la fonction Python, nous utilisons l’approche de simulation Monte Carlo pour estimer la probabilité P(X x). Nous générons un grand nombre de réalisations de la variable aléatoire Z qui suit une loi normale centrée réduite, puis nous transformons ces réalisations en réalisations de la variable aléatoire X en utilisant la relation X = -a + . Enfin, nous comptons le nombre de fois où X est supérieur ou égal à x et nous divisons par le nombre total de réalisations pour obtenir une estimation de la probabilité. Voici le code
Python complété :
import numpy as np
import numpy.random as rd
def estim_proba(a, x):
num = 0
for _ in range(10000):
Z = rd.normal()
X = -a + Z / np.sqrt(2)
if X >= x:
num = num + 1
return num / 10000
Exercice 3
Partie I
1.(a) La symétrie de la matrice M en fait une matrice diagonalisable.
Il est inutile de se lancer dans une recherche de valeurs propres au vue des questions suivantes.
(b) On a (M+I)^2=3(M+I)
D’où, M^2-M-2I=0.
Ainsi, P=X^2-X-2 est un polynôme annulateur de M.
(c) Les valeurs propres de M sont parmi les racines du polynôme annulateur M. Les valeurs propres sont : -1 et 2.
En déterminant les sous espaces propres de M associées à ses valeurs propres, vous validez ces valeurs propres et déterminons également les bases de ces derniers sous espaces propres.
(d) Pour déterminer l’inversibilité de P, il suffit de montrer que :
PP^(-1)= P^(-1)P=I
(e) En calculant P^(-1)MP vus trouverez facilement que les coefficients diagnaux de D sont : -1 et 2.
Le calcul n’est d’ailleurs pas nécessaire au vu du fait que M est une matrice diagonalisable et que ses valeurs propres sont -1 et 2.
(f) La récurrence est simple à faire. Il faut tout de même faire attention à sa rédaction et à ne pas oublier l’hypothèse de récurrence.
(g) Soit k un entier naturel
L’égalité étant admise, il faut la développer, en se servant également du résultat de la question précédente pour M^k, et d’identifier les réels grâce aux coefficients des deux matrices.
2.(a) Une simple récurrence permet de démontrer l’égalité.
(b) Mn=Jn-In
(c) La formule du binôme de Newton appliquée aux matrices (en justifiant le fait que les deux matrices concernées commutent) permet de trouver l’égalité demandée.
(d) En réajustant un petit peu la somme et en appliquant la formule du binôme de Newton pour les bonnes valeurs, vous obtenez le résultat demandé.
(e) On en déduit rapidement que les coefficients diagonaux de (Mn)^k valent ck+ (-1)^k et les autres coefficients valent ck.
Partie II
3. Pour représenter les graphes K2, K3, K4 et K5, nous dessinons des graphes complets avec respectivement 2, 3, 4 et 5 sommets, où chaque sommet est relié à tous les autres sommets par une arête.
4.(a) La matrice adjacente du graphe complet est une matrice carrée de taille n x n, où n est le nombre de sommets dans le graphe, et dont les éléments sont définis comme suit :
– a_ij= 1 si le sommet i est relié au sommet j par une arête.
– a_ij= 0 sinon.
Dans le cas du graphe complet Kn, chaque sommet est relié à tous les autres sommets, donc tous les éléments de la matrice sont égaux à 1, sauf ceux de la diagonale principale, qui sont égaux à 0 car un sommet n’est pas relié à lui-même.
(b) Dans le graphe K4, chaque sommet est relié à tous les autres sommets, ce qui signifie qu’il existe une arête reliant chaque paire de sommets. Pour trouver le nombre de chaînes ou chemins de longueur 4 menant du sommet 1 à lui-même, nous devons examiner les différents chemins possibles.
Dans un graphe complet , pour revenir au même sommet en 4 étapes à partir du sommet de départ (sommet 1 dans ce cas), chaque étape doit passer par un sommet différent. Donc, le chemin doit être de la forme 1 -> x -> y -> z -> 1, où x, y, z, sont trois sommets distincts autres que le sommet 1.
Il y a n – 1 choix pour sélectionner le sommet x (car il y a n sommets au total et nous excluons le sommet 1), puis n – 2 choix pour y (en excluant à nouveau le sommet 1 et le sommet x), et enfin n – 3 choix pour z (en excluant le sommet 1, le sommet x et le sommet y).
Ainsi, le nombre total de chemins de longueur 4 menant du sommet 1 à lui-même dans le graphe est donné par (n-1)(n-2)(n-3).
Pour , où n = 4, le nombre de chemins de longueur 4 menant du sommet 1 à lui-même est (4-1)(4-2)(4-3) = 6.
5. Dans le graphe complet Kn, chaque sommet est relié à tous les autres sommets. Par conséquent, le degré de chaque sommet est égal à n – 1, car il y a n – 1 arêtes incidentes à chaque sommet.
6. Le nombre total d’arêtes dans le graphe complet peut être calculé en comptant le nombre d’arêtes incidentes à chaque sommet et en divisant par 2 (car chaque arête est comptée deux fois). Chaque sommet est relié à n – 1 autres sommets, donc le nombre total d’arêtes est (n*(n-1))/2.
Partie III
7) Pour V0, à l’étape initiale, on se trouve sur le sommet numéro 1, donc P(X0= 1) = 1 et P( X0= i) = 0 pour tout i différent de 1. Ainsi, V0 = (1, 0, 0, …, 0), une matrice ligne où le premier élément est 1 et tous les autres sont 0.
Pour V1, à la première étape, nous changeons de sommet en suivant au hasard l’une des arêtes issues du sommet 1. Comme il y a n arêtes au total, chaque arête a une probabilité de 1/n d’être choisie. Donc, P( X1= i) = 1/n pour tout i entre 1 et n. Par conséquent, V1 = ( 1/n,1/n ,…, 1/n), une matrice ligne où tous les éléments sont .
8) La matrice de transition de la chaîne de Markov est une matrice P telle que représente la probabilité de passer de l’état i à l’état j en une étape. Comme chaque arête a une probabilité égale 1/n d’être choisie à chaque étape, la matrice de transition est une matrice n x n où chaque ligne est identique et égale à 1/n.
9) (a) Un état stable de la chaîne de Markov est un état où la distribution des probabilités des états futurs reste constante. C’est-à-dire que si la chaîne de Markov est dans un état stable, la distribution de probabilité à l’étape suivante est identique à la distribution de probabilité à l’étape actuelle.
(b) Soit V la matrice ligne où tous les coefficients sont 1/n. Cela signifie que la probabilité de se trouver dans chaque état est la même et égale à 1/n. Cette distribution est stable car elle reste constante à chaque étape.
10) (a) Pour tout entier naturel k, Vk+1peut être exprimé en fonction de Vk, Mn et n comme suit : Vk+1=Vk*Mn
(b) En utilisant la relation Vk+1=Vk*Mn, on peut passer par une récurrence pour prouver l’égalité demandée.
(c) En utilisant le résultat de la question 2(e), où il a été démontré que (Mn)^k converge vers une matrice P, on peut conclure que la suite (Xk), où k est un entier naturel non nul, converge en loi vers une variable aléatoire dont la distribution est caractérisée par la matrice P.
11) Les résultats des questions 9 et 10 montrent que la distribution des probabilités des états de la chaîne de Markov converge vers une distribution stable, indépendamment de la distribution initiale. Cela signifie que la probabilité de se trouver dans chaque état devient indépendante de l’état initial à mesure que le nombre d’itérations augmente.
