Retrouvez l’analyse du sujet de Maths T du concours ECRICOME 2023. Cette épreuve est incontournable pour les étudiants de prépa ECT !
Pour rappel, voici les coefficients de cette épreuve :
- EM Strasbourg Business School : Coefficient 5
- KEDGE Business School : Coefficient 7
- Montpelier Business School : Coefficient 7
- NEOMA Business School : Coefficient 7
- Rennes School of Business : Coefficient 5
En vue des épreuves de mathématiques à venir, retrouvez notre kit de réussite des maths aux concours pour vous y préparer au mieux.
L’analyse du sujet de Maths T ECRICOME 2023
Le sujet de mathématiques pour Ecricome ressemble aux sujets habituels. À première vue, il semble plus long que celui de l’année précédente, mais en réalité, il comporte un bon nombre de questions qui peuvent être traitées rapidement.
Exercice 1
Partie 1 :
- Question faisable pour les candidats ayant travaillé Python.
- a) C’est une résolution d’une simple équation. Ici l équivaut à 4/7.
b) ll suffit de faire Vn+1 = Un+1 – l , on remplace ensuite Un+1 par les valeurs données au-dessus. Enfin, il faudra simplifier le tout. Cela reviendra à 5/12 (un -l) soit 5/12 vn.
c ) Comme vn+1 = 5/12 vn alors vn = v1 * 5/12.
d) Vn= un – l , V1 * 5/12 + l = un , 5/12 * V1 + 4/7 = un.
Partie 2 :
- a) Calcul d’un produit de matrice simple avec A, X1 et X2 données.
b) Question de cours. - Pour montrer que P est inversible il faut montrer que le déterminant est non nul. Ici c’est le cas. Ensuite pour calculer l’inverse il suffit d’utiliser la méthode vu en cours avec le déterminant.
- Calcul d’un produit de matrice simple avec P, D et P^-1 données et vérifier que cela équivaut à A.
- Récurrence classique sans difficulté. Dans l’hérédité, on suppose qu’il existe un rang n telle que notre propriété est vraie. On montre qu’elle est vraie au rang n+1.
- a) Calcul simple avec X et P^-1 données.
b) Calcul long il faut veiller à le faire rapidement sans faire d’erreur de calcul. Ici il suffit de reprendre la question 6 et 7a). Il faut calculer PD^n puis multiplier le résultat par le résultat trouvé en 7a).
Partie 3 : - B1 = 0, car on suppose que le jour 1 il fait beau ; A2 = ¾ : d’après l’énoncé ; B2 = ¼ :
d’après l’énoncé - a) Formule des probabilités conditionnelles.
b) Il suffit de calculer.
c) La somme des totales des événements vaut 1. - a) Par récurrence en utilisant la question 9.b).
b) Calcul simple = Mn-1 (1;0) sachant que M= (1/12)A. - a) La probabilité qu’il ne fasse pas beau en n est 1-an et donc d’après la formule des probabilités totales avec le sce An et son complémentaire on obtient donc a(n+1)= ¾ an + (1-an)*⅓= 5/12 an + ⅓ , ce qui est demandé par l’énoncé.
b) Il faut s’inspirer des questions de la partie 1.
c) S’inspirer de la question 9.c). - La limite de an en + infini = 4/7 et celle de bn = 3/7.
- a) Calcul des probabilités conditionnelles (s’inspirer des questions précédentes).
b) S’inspirer de la question précédente.
Exercice 2
- Il faut montrer que 1 + exp c’est défini sur R puis montrer qu’avec log en plus c’est défini sur R. Ainsi, la fonction f(x) est définie sur R, logarithme est continue est dérivable donc f(x) est continue est dérivable.
- Il suffit de dériver à l’aide de la formule suivante ln(u’) = u’/u. Exp est positive , 1+ exp aussi donc f est croissante sur R.
- La limite de f(x) en – infini = 0 (car exp de – infini = 0 et ln(1) = 0). Il y a donc une asymptote horizontale.
- a) La limite de f(x) en + infini = + infini.
b) Ici il suffit de calculer.
c) Ici il faut faire f(x) – y puis calculer sa limite.
d) On effectué la dérivée de f(x) – x. On reprend la question 4,b) on devra juste calculer la dérivée de ln(1+e^-x). Cela donne -e^-x/1+e^-x ainsi le signe est négatif. - Calcul simple de la tangente à l’aide de la formule suivante y = f'(a)(x-a) + f(a).
- a) Il ne faut pas oublier de mettre les limites : 0 en – infini et + infini en + infini. La courbe est croissante et il faut préciser la valeur en 0 soit ln(2).
b) Il suffit de tracer les droites D et T0 en s’aidant du tableau des variations et du calcul de la tangente. - a) Il faut montrer e^(-nx)> e^(-(n+1)x) puis ajouter 1 et composer par ln (fonction croissante sur R privé de 0, donc on ne change pas les inégalités).
b) Comme gn+1 < gn alors In est décroissante (il faut bien utiliser la continuité de gn pour utiliser l’intégrale).
c) Pour montrer qu’une suite est convergente il faut qu’elle soit décroissante et elle doit être minorée. Ici elle est minorée par 0. - a) Calcul avec une intégration par partie. Il faut rappeler que u et v sont bien C1 sur [0,1].
b) 1+e^(-nx) > 1 donc avec ça comme point de départ, on aboutit au résultat souhaité. Il peut être difficile de s’y retrouver avec les notations.
c) Il faut utiliser une IPP ( on dérive x et on primitive e^(-nx) )en rappelant bien que u et v sont C1 sur [0,1].
d) S’inspirer de la c). - Question faisable pour les candidats ayant travaillé Python.
Exercice 3
- Il faut montrer que f est positive sur R, qu’elle est continue sur R et que sous réserve de convergence l’intégrale de f(t) de -infini à + infini vaut 1.
- Il faut d’abord distinguer deux cas si x = s. Dans le premier cas on calcule l’intégrale de -infini à s = 0 puis dans le deuxième cas de on calcule l’intégrale de s à + infini. A la fin on trouve bien la fonction de répartition mentionnée dans la question.
- Il suffit juste de dériver F et étudier le signe de la dérivée pour avoir le tableau des variations. Pour l’allure de la courbe ne pas hésiter à calculer la limite quand x tend vers + l’infini et s. Et ne pas oublier que f est nulle entre – l’infini et s.
- a) Il faut montrer que f est continue sur s + infini, qu’elle est strictement monotone et utiliser les limites pour avoir l’intervalle 0,1. Cette question requiert donc l’utilisation du théorème de bijection.
b) Il faut partir du fait que y est compris entre 0 et 1 et avec des inégalités successives, par passage à l’inverse etc on obtient g(y) >= s.
c) Calcul. - a) Cours.
b) D’après la question 4, comme il y a une bijection alors on a : u = g-1 de v et donc en composant par g puis par f on trouve la première égalité. Pour la deuxième se ramener à la question 5a). Pour la 3ème égalité se rapporter au support de v.
c) S’inspirer de la question 2. - Question faisable pour les candidats ayant travaillé Python.
- Il faut se ramener à l’intégrale de la densité de probabilité en se rappelant qu’entre – infini et s elle est nulle. Attention à bien poser un réel pour l’intégrale impropre.
- Il faut poser un réel et se rendre compte que lorsque qu’on le fait tendre vers l’infini, l’intégrale diverge (en trouvant une primitive de 1/x).
- Se ramener au complémentaire et s’aider de la question 2.
- On reconnait N expérience de Bernoulli identiques et indépendantes de succès le salarié à un salaire horaire d’au moins 3/2 s de probabilité 4/9 d’après la question 9.
- Calcul de cours.
- On demande de calculer de P(Nn)<= 2 soit P(Nn) = 0 + P(Nn) = 1 + P(Nn)= 2 par incompatibilité.
- a) Par linéarité de l’espérance et car S1 à Sn suivent les mêmes lois : on remarque que E(Mn) = ½ E(Nn).
b) Question faisable pour les candidats ayant travaillé Python.
