En ECT, le chapitre des probabilités est assez lourd, car il y en a partout et, forcément, il est primordial de reconnaître une loi usuelle quand il y en a une afin de gagner du temps, puisqu’on n’a plus qu’à ressortir ce qu’on a appris et ainsi gagner des points facilement.
Lire plus : Maths ECT : maitriser les probabilités discrètes (Partie 1)
Loi uniforme (X⤻U⟦1;n⟧)
La loi uniforme se repère quand toutes les issues ont la même probabilité :
X(Ω)= ⟦1;n⟧
p(X=k)= 1/n
E(X)= (1+n)/2
V(X)=(n² − 1)/12
Exemple :
on choisit au hasard un étudiant parmi une classe de 30 étudiants numérotés de 1 à 30. On note X le numéro de l’étudiant choisi ⇒ on voit que, pour tirer n’importe quel numéro, la probabilité est la même (1/30). Donc, ici, X ⤻ U(⟦1 ; 30⟧).
Loi de Bernoulli (X⤻B(p))
La loi de Bernoulli se repère quand le résultat de la variable aléatoire est 1 (succès) ou 0 (échec), p étant la probabilité du succès :
X(Ω)= {0;1}
p(X=1)= p
E(X)= p
V(X)= p *(1-p)
Exemple :
on lance une pièce équilibrée. X vaut 1 si on tombe sur pile et 0 sinon ⇒ on voit que pile correspond au succès et que sa probabilité est 1/2. Donc, ici, X ⤻ B(1/2).
Loi binomiale (X⤻B(n,p))
La loi binomiale se repère quand on répète n fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli dont la probabilité du succès est p :
X(Ω)= ⟦0;n⟧
p(X=k)= \(\binom{n}{k}\)* pᵏ * (1 − p)ⁿ⁻ᵏ
E(X)= n*p
V(X)= np*(1-p)
Exemple :
on lance 10 fois, de manière indépendante, une pièce équilibrée. On note X le nombre de fois où on tombe sur pile ⇒ on voit qu’on répète 10 fois une épreuve de Bernoulli dont le succès est pile, et donc que sa probabilité est 1/2. Donc, ici, X ⤻ B(10, 1/2).
Loi géométrique (X⤻G(p))
La loi géométrique est aussi appelée la loi du premier succès au cours d’une succession d’épreuves indépendantes :
X(Ω)= N*
p(X=k)= (1 − p)ᵏ⁻¹ * p
E(X)= 1/p
V(X)= (1 − p)/p²
Exemple :
on lance une pièce équilibrée de manière indépendante. On note X le rang du premier pile ⇒ on voit qu’on cherche le nombre d’essais nécessaires pour obtenir le premier succès. Donc, ici, X ⤻ G(1/2).
Loi de poisson (X⤻P(λ))
La loi de Poisson modélise la probabilité d’événements rares :
X(Ω)= N
p(X=k)= (λᵏ / k!) × e^(−λ)
E(X)= λ
V(X)= λ
Exemple :
dans une ville, il y a en moyenne 2 accidents de voiture par semaine. On suppose que X suit une loi de Poisson. On note X le nombre d’accidents dans la semaine ⇒ on reconnaît une loi de Poisson parce qu’on nous le dit, mais aussi parce que les accidents restent des événements rares. Donc, ici, X ⤻ P(2).
Les lois usuelles permettent de modéliser de nombreuses situations de probabilités que l’on peut rencontrer aux concours. L’essentiel n’est pas seulement de connaître les formules, mais surtout de savoir reconnaître la situation correspondant à chaque loi.
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