Maths Appliquées emlyon 2024 – Analyse du Sujet

L’Analyse de Sujet de Maths Appliquées emlyon 2024

L’épreuve de mathématiques de l’EM Lyon est la première épreuve de mathématiques de la BCE. Il s’agit également de l’épreuve de mathématiques la plus passée par les élèves étant donné qu’elle donne accès à beaucoup d’écoles de cette banque de concours.

Il s’agit cette année d’une épreuve assez accessible combinant beaucoup de notions du programme de mathématiques appliquées. Le sujet est en effet composé de 3 exercices : le premier se concentre sur l’analyse, le deuxième sur l’algèbre, tandis que le dernier aborde les probabilités. En outre, des questions de programmation Python, relativement abordables, complètent le tout.

Exercice 1

Partie A:

1.a) Il s’agit de trouver les solutions de l’équation différentielle homogène x’(t)=-x(t) soit x’(t)+x(t)=0. Les solutions de cette équation sont les fonctions constantes de la forme x(t)=C*exp(-t), où C est une constante réelle.

b) On peut utiliser la méthode des coefficients indéterminés pour trouver une solution particulière de (E).

c) La solution générale de (E) sera la somme de la solution de l’équation homogène et d’une solution particulière.

2)a. Pour cette question, il faut exprimer le système différentiel (S) sous forme matricielle.

La matrice A est la matrice des coefficients du système différentiel.

Il faut analyser les valeurs propres de A pour déterminer si oui ou non la matrice A est diagonalisable. 

b) Cela peut être justifié en utilisant le théorème d’existence et d’unicité des solutions d’un système différentiel.

c) Utiliser les résultats obtenus dans la question 1 pour trouver la solution particulière.

d) Pour cela, il faut étudier le comportement des solutions lorsque t tend vers l’infini, en particulier lorsque les termes dépendant du temps deviennent négligeables. Cela peut être fait en utilisant la solution générale obtenue dans la question 1.

Partie B 

4.a) Pour répondre à cette question, il faut faire une distinction de cas en fonction du signe de k et se baser sur les propriétés des limites (notamment la negligeabilité et l’équivalence) des fonctions usuelles qui composent la fonction fk. 

b) Pour dresser le tableau de variation de fk(x), étudier les variations de la fonction entre les valeurs où elle est définie. Pour cela, il faut calculer les dérivées première et seconde de fk, puis analyser les signes de ces dérivées sur l’intervalle adéquat.

5. a) Pour étudier la position relative de deux courbes Ck et Ck+1, il est nécessaire de trouver leurs points d’intersection en résolvant l’équation fk(x)=fk+1(x)

b) Pour dessiner les courbes Ck et Ck+1 sur un même graphique, il faut tracer simplement les graphiques des fonctions fk(x) et fk+1(x) pour différentes valeurs de k. Aidez vous des résultats obtenus aux questions précédentes. De plus, utilisez des couleurs différentes ou des styles de ligne différents pour les distinguer clairement.

Partie C 

6.a) Une analyse des variations de la fonction f(x) = ln(x) – x + k est envisageable pour répondre à cette question. En effet, montrez d’abord que f(x) est décroissante sur [1, +∞[ puis utilisez le théorème des valeurs intermédiaires pour démontrer l’existence et l’unicité de la solution de f(x) = k.

7. Montrez que la suite (Uk) est croissante en établissant une inégalité à partir de la définition de la suite. Puis utilisez la croissance de la fonction logarithme pour montrer que ln(k)/k est un majorant de la suite. Ensuite, démontrez que la suite est bornée en montrant que chaque terme de la suite est compris entre 0 et ln(k)/k. Enfin, appliquez le théorème des suites monotones et bornées pour conclure sur la convergence et calculer sa limite.

8.a) En développant l’égalité fk(Uk)=k et en la réajustant (notamment en appliquant la fonction logarithme de chaque côté de l’égalité), on obtient le résultat demandé. 

b) Utilisez la relation trouvée en 8.a) pour établir une équivalence entre uk et ln(k)/k lorsque k tend vers +∞.

9. À nouveau, utilisez l’équivalence obtenue à la question précédente, analysez l’équivalence de la série de terme général ln(k)/k et concluez quant à la convergence de la série de terme général Uk grâce au théorème de comparaison des séries à termes positifs.

Exercice 2

Partie A

1. On a A^2=-I2. Ce qui permet d’en déduire l’inversibilité de A et que son inverse est -A.

2. Pour déterminer si A est diagonalisable, nous pouvons déterminer ses valeurs propres. Il s’agit d’une matrice carrée d’ordre 2, donc le calcul est rapide.

3. Pour montrer que C est un sous-espace vectoriel, il faut vérifier trois conditions :

   – C contient le vecteur nul (matrice nulle).

   – C est stable par addition.

   – C est stable par multiplication par un scalaire.

Il était également possible d’exprimer C, comme un sous espace vectoriel engendré.

4.a) Résoudre l’équation AM = MA d’inconnue M. Pour résoudre cette équation, on peut utiliser la forme générale de M. En développant AM et MA, on obtient un système d’équations linéaires que l’on peut résoudre pour trouver les coefficients de M.

b) Il suffit de montrer que (I2, A) est une famille génératrice de C et qu’elle est linéairement indépendante. On peut montrer que toute matrice M de C peut être exprimée comme une combinaison linéaire de I2 et A, et que cette combinaison est unique.

5. Pour ces deux questions, il faut s’appuyer sur les propriétés des matrices et les implications de l’appartenance des matrices à l’espace vectoriel C.

Partie B 

7.a) Commencez par développer M^2 en utilisant la formule  M^2 = (aI2 + bA)^2, où I2 est la matrice identité et A est la matrice définie dans l’énoncé. Ensuite, utilisez les propriétés de la matrice A pour simplifier l’expression obtenue.

b) Remplacez P(M) par 0 dans l’expression obtenue en 7.a) et résolvez l’équation obtenue pour a et b. Cela permet d’obtenir deux équations que qu’il est possible  d’écrire sous la forme d’un système d’équations linéaires.

8.a) Utilisez le fait que si le discriminant ( u^2 – 4v) est nul ou positif, alors le système d’équations de la question précédente admet au moins une solution de la forme (a, 0).

b) Si le discriminant est strictement négatif, alors le système d’équations admet au moins une solution de la forme (a, b) avec b≠0.

9) Il faut utiliser les résultats des questions précédentes pour trouver une matrice M qui vérifie M^2 + M + I_2 = 0. En d’autres termes, résolvez l’équation a^2 – b^2 + ua + v = 0 et 2ab + ub = 0 pour trouver les valeurs de a et b, puis utilisez-les pour former la matrice M. 

Partie C

10. Pour montrer que φ est un endomorphisme, il faut démontrer deux propriétés :
– Linéarité : Montrez que φ est linéaire, c’est-à-dire que pour toutes matrices  carrées d’ordre 2, M et N, et tout scalaire λ on a : φ(λM+N)=λφ(M)+φ(N)- Application dans l’ensemble des matrices carrées d’ordre 2 : Montrez que φ(M) est une matrice carrée d’ordre 2 pour toute matrice M carrée d’ordre 2. 

11. En calculant φoφ, nous pouvons voir si φ est bijectif (injective et surjective). Ainsi, si φoφ est égale à l’application identité, alors φ est bijectif et son inverse est elle-même.

12. a) Calculez φ(E1), φ(E2), φ(E3), φ(E4) et formez la matrice B de φ dans la base canonique de l’ensemble des matrices carrées d’ordre 2. 

Vous devez obtenir : 

φ(E1)=-E4

φ(E2)=E3

φ(E3)=E2

φ(E4)=-E1

b)D’abord, B étant une matrice antisymétrique, on en déduit directement qu’elle est diagonalisable. 

Ensuit, comme B^2=I4, on en déduit que B^2-I4=0, autrement dit que (B-I4)(B+I4)=0. Dès lors, P(X)=(X-1)(X+1) est un polyôme annulateur de B. Dès lors, les valeurs propres de B sont parmi les racines de son polynôme annulateur. Ainsi, Sp(B)⊆{-1,1}. Il faut maintenant prouver que les matrices B-I4 et B+I4 ne sont pas inversibles pour prouver que -1 et 1 sont les deux valeurs propres de B.

Exercice 3

Partie A

1. La variable aléatoire Xk représente le numéro de la boule obtenue au k-ième tirage. Puisque les tirages se font avec remise, chaque numéro de boule a la même probabilité d’être tiré à chaque étape. Par conséquent, la loi de Xk est une loi uniforme discrète sur l’intervalle [1 ;N], où N est le nombre total de boules dans l’urne.

2. La fonction ajout prend en argument une liste L et un entier x. Si x n’est pas déjà présent dans la liste L, la fonction ajoute x à la liste L. Ainsi, l’exécution de la commande ajout(L, x) modifie la liste L en y ajoutant x, à condition que x ne soit pas déjà présent dans L.

3. Voici le programme complété :

import numpy.random as rd

def Simul_T(N, i):

    L = []

    k = 0

    while len(L) < i:

        x = rd.randint(1, N + 1)

        ajout(L, x)

        k = k+1

    return k

4. On a : 

N = 3

realisations = [Simul_T(N, 2) for _ in range(100)]

moyenne = sum(realisations) / len(realisations)

print(« Moyenne sur 100 réalisations de Simul_T(3,2) : », moyenne)

Le résultat obtenu représente la moyenne du nombre de tirages nécessaires pour obtenir 2 numéros distincts, soit la moyenne de la variable aléatoire T2.

Partie B

5. T2 représente le nombre de tirages nécessaires pour obtenir 2 numéros distincts. Les valeurs possibles de T2 commencent à 2 (car il faut au moins 2 tirages pour obtenir 2 numéros distincts) et continuent jusqu’à l’infini étant donné qu’il y a remise dans l’urne de boules tirées (par exemple si on tire indéfiniment la même boule). Autrement dit, l’ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire est [[2 ; +infini[[

6.a) L’événement (T2 = k) inter (X1 = 1) signifie que le numéro 1 est tiré au premier tirage et qu’il faut exactement k tirages pour obtenir un deuxième numéro distinct. Cela implique que le numéro 1 est tiré au premier tirage (événement ( X1 = 1)) et que les (k-1) tirages suivants produisent uniquement des numéros différents de 1 (événement (Xj≠1) pour j allant de 2 à k).

b) La probabilité que le numéro 1 soit tiré au premier tirage est 1/3, car il y a 3 boules dans l’urne et chacune a la même probabilité d’être tirée. Pour les (k-1) tirages suivants, la probabilité que chaque tirage produise un numéro différent de 1 est 2/3 car il reste 2 boules dans l’urne sur lesquelles il n’y a pas de restriction. Donc, la probabilité est 1/3*(2/3)^k-1

c) Pour obtenir (T2=k), il faut que le premier tirage soit 1 et que les (k-1) tirages suivants produisent des numéros distincts de 1. Comme discuté précédemment, la probabilité de cet événement est 1/3*(2/3)^k-1. Cependant, cela peut également arriver si le premier numéro tiré n’est pas 1, ce qui se produit avec une probabilité de 2/3. Donc, la probabilité totale que (T2=k) est la somme des deux cas, soit 1/3*(2/3)^k-1+2/3*(2/3)^k-1=2/3^(k-1)

7. Pour répondre à cette question, il faut s’appuyer sur les propriétés de l’espérance. Attention, l’espérance peut être calculée qu’une fois la convergence de la série justifiée.

8. Comme Z2=T2-1 et l’ensemble des valeurs prises par Z2 est [[2 ; +infini[[. Dès lors, l’ensemble des valeurs prises par [[1 ; +infini[[

De plus, P(Z2=k)=P(T2-1=k)=P(T2=k+1)=2/3^k=(2/3)*(1/3)^(k-1)

On reconnaît la loi géométrique de paramètre 1/3.

Le cours permet de trouver directement l’espérance et la variance de Z2.

L’espérance et la variance de Z2 permet de conclure directement quant à l’existence de l’espérance et la variance de T2 et de calculer leurs valeurs. En effet, grâce à la linéarité de l’espérance et aux propriétés de la variance on a :

E(T2)=E(Z2)+1 et V(T2)=V(Z2)

Partie C

9.a) La variable aléatoire Zi représente le nombre de tirages nécessaires, après le T(i-1)-ième tirage, pour obtenir un numéro distinct des i-1 numéros déjà tirés. La probabilité de tirer un numéro différent des i-1 numéros déjà tirés est (N – i + 1)/N , car il reste (N – (i – 1)) numéros dans l’urne sur N possibles. Donc, Zi suit une loi géométrique de paramètre (N – i + 1)/N.

b) Zi suit une loi géométrique de paramètre (N – i + 1)/N donc le cours nous permet de déterminer directement son espérance et sa variance.

10. Ti est le nombre de tirages nécessaires pour obtenir i numéros distincts.

Dès lors, Ti=Z1+Z2+…+Zi car Zi représente le nombre de tirages supplémentaires nécessaires après le T(i-1)-ième tirage pour obtenir un numéro distinct des i-1 numéros déjà tirés. On peut écrire Ti comme la somme des Zj où j est un entier naturel compris entre 1 et i.

11.a) Pour Z2, la probabilité de tirer un numéro différent du premier tirage est (N-1)/N. Pour Z3, la probabilité de tirer un numéro différent des deux premiers tirages est (N-2)/N. Donc les variables Z2 et Z3 étant indépendantes on a : P((Z2 = l) inter (Z3 = k)) =[(N-1)/N]* [(N-2)/N ]où l et k sont des entiers strictement positifs.

b) Il s’agit de passer par la loi de somme de deux variables aléatoires vue en cours. L’indépendance des variables Z2 et Z3 facilite le calcul.

c) T3 est le nombre de tirages nécessaires pour obtenir 3 numéros distincts. D’après la question 10, T3 = Z1 + Z2 + Z3, où Z1, Z2 et Z3 sont des variables aléatoires indépendantes.

Il s’agit d’appliquer à nouveau la même loi qu’à la question précédente en séparant Z1 d’un côté et Z2+Z3 de l’autre.

12. D’après la question 10, Ti=Z1+Z2+…+Zi. Or, les variables aléatoires Z1, Z2, …, Zi sont indépendantes on en déduit que Ti admet une espérance et grâce à la linéarité de l’espérance on a E(Ti)=E(Z1)+E(Z2)+…+E(Zi). Pour obtenir le résultat demandé, il faut procéder à un changement de variable et à un réajustement des bornes de la somme.

13. On a d’abord Cov(Ti,Tj)=Cov(Ti,Ti+Z(i+1)+Z(i+2)+…+Zj)

Grâce à la bilinéarité de la covariance on a : Cov(Ti,Tj)=Cov(Ti,Ti)+Cov(Ti,Z(i+1)+Z(i+2)+…+Zj)

Ainsi, Cov(Ti,Tj)=V(Ti) + Cov(Z1+Z2+…+Zi,Z(i+1)+Z(i+2)+…+Zj)

Là encore, grâce à la bilinéarité de la covariance et le fait que toutes les variables aléatoires Zk, pour tout entier naturel k, sont indépendantes on a :  Cov(Z1+Z2+…+Zi,Z(i+1)+Z(i+2)+…+Zj)=0.