Maths Approfondies emlyon 2024 – Analyse du Sujet

L’Analyse du Sujet de Maths Approfondies emlyon 2024

Problème 1 

Partie I:

1-Question sûrement vue en cours, il suffit de partir de l’hypothèse de l’énoncé pour dire que AM=M ^3=MA

2-Question de cours là aussi, on raisonne par double implication  (si A est inversible …. PUIS si M est inversible ….) ce qui démontre l’équivalence.

3-a)Question calculatoire. On trouve la valeur de A^2 est symétrique. A est diagonalisable (car ad-bc, ici 0+1 est différent de 0)

b-c)On résout le système M^2=A en identifiant chacun des termes de la matrice pour montrer les deux solutions possibles

4-a)A possède une seule valeur propre qui est 0. On étudie ensuite la dimension du noyau de l’endomorphisme associé qui est de 2. Or la matrice appartient à M(3,3) donc cette matrice n’est pas diagonalisables.

b) Calcul direct

c)On applique f^p-1 à l’équation de liaison comme nous le suggère le sujet

5-a)On sait que M^2=In donc M^2-In=0 donc un polynôme annulateur de la matrice M est P(X)=X^2-1. Ses racines sont -1 et 1 qui sont les valeurs propres possibles pour M.

b)On procède par analyse-synthèse

c) La somme des dimensions des sous espaces propres de M est égale à n (cf b), la dimension de R^n donc par définition M est diagonalisable.

6-a)Par définition A est une matrice de taille n admettant n valeurs propres donc elle est diagonalisable. Donc il existe une matrice D diagonale constituée de lambda1,….., lambdan et une matrice P inversible tel que A=PDP^-1

b)On raisonne par double implication et on utilise la question 6-a)

c)On utilise la Q1, ce qui appliqué à cette question nous donne ND=DN

7- On suppose que A est symétrique (transposée de A=A, toujours bon de le rappeler) donc A est diagonalisable et que toutes ses valeurs propres sont positives

a) M,symétrique donc diagonalisable, se réécrit donc sous la forme PDP^-1, avec sur la diagonale les racines carrées des valeurs propres. On a M^2=PD^2P-1=A

b)Plus compliqué, pas la peine de s’y attarder, il y a des points à récupérer ailleurs !

Partie II :

8-Utiliser la définition du produit scalaire : bilinéaire, symétrique, définie, positive

9-On voit une inégalité avec une norme et un produit scalaire, on pense à utiliser l’inégalité de Cauchy-Schwarz

10-Démonstration théorique, pas le temps en 4heures car pas nécessaire pour avoir un bonne note.

11- a-b-c) Etude de suite classique : tableau de variation, récurrence, monotonie

d)On dérive la fonction phi puis on applique l’inégalité triangulaire

e)On applique l’inégalité des accroissements finis à l’aide de la question d. Attention à bien rédiger ce point !

12-c) Informatique : Question abordable si l’on a travaillé le Python dans l’année, ce sont de bons points à prendre !

Problème 2 

Partie 1-Préliminaire 

1-Question de cours : Récurrence et IPP pour montrer le résultat

2-Calcul de la fonction hn puis représentation graphique, tracer un schéma proprement. Pour montrer que c’est une densité de probabilité on utilise la définition (définie, positive, continue, intégrale sur l’intervalle vaut 1)

b- La limite quand n tend vers plus l’infini est égale à zéro .

c-Le calcul de chaque membre prouve que les deux termes ne sont pas égaux (le premier membre vaut 1, le deuxième zéro). Nous venons de redémontrer un résultat que beaucoup de candidats ont sûrement déjà vu en cours : la limite de l’intégrale n’est pas égale à l’intégrale de la limite !

Partie 2- Etude de Sn

3-Question de cours sur l’espérance (linéarité) et sur la variance pour des variables aléatoires mutuellement indépendantes.

4- a) question de cours

b) on applique la récurrence tel que conseillé par le sujet

5-6- On travaille avec les fonctions de répartition que l’on dérive pour retomber sur l’espérance.

7- Définition de la convergence en loi

Partie 3:

Cette partie sur les fonctions de plusieurs variables. Des questions plutôt classiques pour les candidats qui ont eu le temps de les regarder. La difficulté était de se replonger dans un nouveau thème qui prend du temps mais sera à coup sûr bien valorisé par les correcteurs et réussir à faire le lien avec la question 5 notamment.

Partie 4:

Cette partie est assez fastidieuse notamment en terme de rédaction. Peut de candidats auront eu le temps de traiter cela bien ! C’est normal pour une fin de sujet. Les premières questions de chaque partie sont souvent des questions de cours alors ne perdez pas de temps sur celles-ci se sont des points à prendre !

16-a)Appliquer la formule de Taylor Young

b) Utiliser le critère de Riemann pour affirmer la convergence de la série de terme Vn.