En maths approfondies, la notion d’ouverts et de fermés est une notion que l’on aborde en fin d’année, si on l’aborde. C’est le cas car il arrive que des exercices tombent sur cette notion. Cela est déjà arrivé dans des sujets HEC. Le sujet 2025 possédait une question à ce sujet. Il s’agissait juste de montrer qu’un ensemble A défini dans l’énoncé était un fermé.
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Pourquoi faut-il se préparer à ce genre de questions ?
Si l’on comprend bien la notion, les questions deviennent faciles et donc ce sont des points gratuits.
Sans plus attendre, abordons ces notions !
La notion d’ouvert en Maths:
La notion de fermé en Maths : qu’est ce qu’un ensemble ou espace fermé ?
Cette définition peut être utile dans certains cas. Si l’on arrive à montrer ou s’il est dit que le complémentaire de F est un ouvert, alors dans ce cas, F est un fermé !
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Maintenant, des propriétés sur les ouverts et les fermés :
Il suffit de retenir une des 4 propriétés pour toutes les retenir. Car les fermés fonctionnent à l’opposé des ouverts. Moi, j’ai mémoriser Union dénombrable d’ouverts est un ouvert (grâce aux sonorités “OU”vert et “U”nion qui se ressemblent).
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Voici les dernières propriétés qu’il faut absolument connaître :
En bref, si l’on arrive à montrer que l’ensemble que l’on étudie peut s’écrire sous l’une de ces formes avec une fonction f continue on a gagné. Il suffit de savoir démontrer qu’une fonction à n variables est continue ce que l’on apprend dans le chapitre sur les fonctions à n variables.
Et enfin, l’ensemble vide est un ouvert et un fermé et R, R2, …., Rn sont à la fois des ouverts et des fermés.
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Deux exercices pour s’entrainer :
Dire si ces ensembles sont des ouverts ou fermés ou aucun des deux.
