Variable aléatoire à densité : toutes les méthodes à connaître

Cet article s’adresse principalement aux étudiants en voie économique, mais un rapide coup d’œil de la part des étudiants en voie scientifique peut être utile. 

 

Voici une série de méthodes indispensables concernant le chapitre sur les variables aléatoires à densitéqui représente l’un des chapitres les plus importants mais aussi un chapitre dont les exercices sont assez répétitifs (sauf épreuves parisiennes et Maths 2). C’est pourquoi vous devez impérativement maîtriser ces méthodes fondamentales car elles permettent de répondre à des questions récurrentes dans les exercices. Un bon apprentissage du cours et des formules sur les lois usuelles est également indispensable. En effet, sans ces formules il est inenvisageable de réussir correctement un exercice sur les variables aléatoires à densité. 

Attention : cet article a pour objet les méthodes principales pour répondre à des questions fréquentes mais il est cependant possible de répondre à ces mêmes questions par le biais d’autres méthodes plus préciseset plus spécifiques à l’exercice traité. Je vous invite donc à établir une fiche concernant ces quelques méthodes spécifiques, non traitées dans cet article, que vous rencontrerez lors de vos différents exercices.

Comment montrer qu’une fonction f est une densité de probabilité ?

  • En montrant que ces 3 conditions sont réunies :
    • f est positive ou nulle.
    • f est continue sauf en un nombre fini de points.
    • L’intégrale de f converge et vaut 1.
  • En montrant que f est la fonction qu’on obtient en dérivant et en prolongeant arbitrairement la fonction de répartition F d’une variable aléatoire à densité ET que cette fonction f est positive.
    • C’est-à-dire en prouvant que F’(x)=f(x) là où F est dérivable.

Comment montrer que F est une fonction de répartition d’une variable à densité ?

  • En montrant que :
    • F est continue sur R
    • F est de classe C1 sur sauf en un nombre fini de points
    • F est croissante sur R
    • Si sa limite en – l’infini est égale à 0 et si sa limite en + l’infini est égale à 1. 

 

Comment montrer qu’une variable aléatoire est à densité ?

  • En montrant que sa fonction de répartition est continue sur R et est de classe C1 sur R sauf en un nombre fini de points.
  • En identifiant que la fonction de répartition de cette variable est une fonction de répartition d’une loi usuelle (Uniforme, Exponentielle, Normale…).

Comment trouver la fonction de répartition d’une variable aléatoire X ?

  • En reconnaissant une loi usuelle.
  • En appliquant la formule de la fonction de répartition.
  • Par définition avec comme support [a;b] on a :
    • Si x<a, F(x) = 0.
    • Si x>1, F(x) = 1.

Comment trouver le support d’une variable aléatoire à densité ?

  • Le support est l’intervalle sur lequel la densité f est non nulle.
  • A l’aide d’une variable aléatoire à densité déjà connue:
    • Par exemple, dans le cas où le support de U est [a;b] avec a et b non nuls et où on aurait X=ln(U) , alors on en déduit que le support de X est [ln(a);ln(b)].

Comment montrer que 2 variables aléatoires à densité suivent la même loi ?

  • En montrant qu’elles ont la même fonction de répartition. Pour cela il faudra la plupart du temps chercher leurs fonctions de répartition respectives.
  • En montrant que leurs densités sont les mêmes sur R sauf peut-être en un nombre fini de points.

Voilà l’article touche à sa fin, vous pouvez désormais vous exercer sur ces méthodes avec par exemple des exercices type EDHEC comme l’exercice 3 de l’épreuve EDHEC 2017 ou l’exercice 2 de l’épreuve EDHEC 2015. 

Pour d’autres précisions ou exemples sur ce chapitre n’hésitez pas à consulter les autres articles ou bonnes copies publiées sur notre site.

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