Mathématiques, Méthodologie

3 conseils pour rendre de bonnes copies en mathématiques

Le jour de l’épreuve, l’anxiété est à son paroxysme. Dès lors, il est bon de savoir en amont comment traiter le sujet afin d’éviter d’amplifier le stress et toutes les pertes de temps inutiles liées à des hésitations qui s’ensuivent.

Lire le sujet en entier avant de commencer : une nécessité ?

De mon point de vue, c’est inutile, mais surtout potentiellement néfaste. En effet, il est impossible de comprendre d’un coup d’œil comment résoudre la question 15) si elle fait appel aux résultats de questions précédentes. Ainsi est-il inutile de lire le sujet en entier en ce que vous ne pourrez pas comprendre, pour la majorité des questions, leur sens vis-à-vis du reste du sujet.

C’est pourquoi cela peut également représenter un danger dans la mesure où le temps perdu à lire le sujet peut coûter cher. Par ailleurs, cela peut même « effrayer » le candidat si le sujet est long ou semble difficile. Cependant, il ne faut pas non plus se lancer tête baissée.

Lire les questions de la partie (ou sous partie)

Au lieu de lire tout le sujet sans en comprendre un mot, il vaut mieux lire chaque partie que l’on entame dans son intégralité afin de comprendre où nous mène cette partie et de quelle manière. Cela permet de comprendre davantage l’articulation des questions de l’énoncé, ce qui est indispensable pour résoudre les questions les plus compliquées qui font appel à plusieurs résultats.

Rédiger proprement

Ne pas avoir une belle plume est bien souvent pénalisant dans les disciplines littéraires, car cela demande plus d’efforts au correcteur. Néanmoins, en maths, ce défaut peut largement être compensé par l’intelligibilité et le soin de la copie.

Un raisonnement mathématiques structuré

Au sein du raisonnement, chaque étape ainsi que les liens de causalité dans le passage d’une étape à l’autre doivent être clairement explicités afin de permettre au correcteur de comprendre rapidement votre démarche.

Prenons l’exemple suivant : Soient E un sous-espace vectoriel et p un projecteur. Montrer que Im(p)=Ker(p-Id_E). La rédaction peut prendre la forme suivante :

Pour montrer l’égalité entre ces deux sous espaces vectoriels, nous allons raisonner par double inclusion.

D’une part, montrons que Im(p) est inclus dans Ker(p-Id_E).

Soit x appartenant à Im(p).

Par définition, il existe y appartenant à E tel que p(y)=x. (1)

Donc p(p(y))=p(x). Or p est un projecteur donc p²=p.

Donc p(y)=p(x).

Donc x=p(x). Car (1)

Donc (p-Id_E)(x)=0.

Donc x appartient à Ker(p-Id_E).

Bilan de cette première étape : Im(p) est inclus dans Ker(p-Id_E)

Montrons d’autre part que Ker(p-Id_E) est inclus dans Im(p)

Soit x appartenant à Ker(p-Id_E).

Par définition p(x)=x. Donc x appartient à Im(p).

Bilan de cette deuxième et dernière étape : Ker(p-Id_E) est inclus dans Im(p)

Conclusion générale : Im(p)=Ker(p-Id_E)

Un raisonnement soigneux

Hiérarchiser l’importance des justifications et des étapes est indispensable pour être le plus lisible possible. C’est pour cela qu’il est préférable d’encadrer les résultats finaux et a minima de souligner les résultats intermédiaires. Il peut également être pertinent de se doter d’un code couleur pour gagner en lisibilité. Par exemple, souligner en vert le numéro des questions, souligner en bleu les résultats intermédiaires et encadrer/souligner en rouge le bilan de la question.

À ce sujet, si certains considèrent qu’il est plus judicieux de s’occuper de l’esthétique à la fin de l’épreuve en y consacrant une dizaine de minutes, je recommande plutôt de le faire au fur et à mesure de l’épreuve afin d’éviter le stress de dernière minute due à la peur de ne pas pouvoir tout mettre en page, et de ne pas se tromper d’éléments à encadrer dans la précipitation. Cela offre de plus une rapide relecture du raisonnement à l’issue de la question que l’on a encore en tête, chose qui est impossible après 4 heures d’épreuve.

Réussir en maths : être persévérant, mais pas obstiné

Il y a deux comportements extrêmes à éviter. Le premier est caractérisé par un abandon trop rapide et trop fréquent face aux questions de difficulté intermédiaire à cause de la panique. Dès lors, ce candidat ne traite que les questions faciles et ne récolte, de fait, que peu de points. Le second est, à l’inverse, caractérisé par un acharnement sur toutes les questions, ce qui, pour un candidat de niveau intermédiaire, est dangereux dans la mesure où passer 30 minutes sur une question difficile sans aboutir à un résultat fructueux à la fin, signifie 30 minutes de perdues qui auraient pu être utilisées à la recherche de questions moins difficiles.

Ainsi faut-il être en mesure de fixer un temps limite pour chaque question en fonction de sa difficulté et être capable de le respecter malgré la frustration de ne pas avoir trouvé. Je recommande un temps de 3 à 5 minutes pour les questions plus abordables et 10 à 15 minutes pour les grosses questions.