Découvre sans plus attendre l’analyse du sujet de maths S HEC/ ESSEC BS 2021 une épreuve pour les candidats de la voie scientifique (ECS).
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Préambule
Le sujet rappelle un certain nombre de notations et en introduit également. Il faut bien prendre le temps de lire posément cette partie pour bien entrer dans le sujet.
Partie I
1a
Il s’agit de raisonner par contraposée, pour démontrer k=k’. Il faudra utiliser certaines propriétés des complexes de module 1.
Ensuite, il s’agit de remarquer que toutes ces valeurs annulent le polynôme X^n-1 (racines de l’unité) de degré n, sont au nombre de n, et donc on obtient la factorisation voulu (théorème de d’Alembert-Gauss)
1b
Si s est multiple de n, on obtient une somme de n termes qui valent 1, i.e. n.
Sinon, c’est une suite géométrique dont la raison est différente de 1. Question utilisant directement le cours sur laquelle il faut passer peu de temps mais néanmoins bien rédiger car il s’agit d’une des premières questions.
2a
Question facile. Il est bon d’avoir déjà pratiqué ce type de manipulations.
2b
Le calcul du polynôme caractéristique X^2 – 2 nous donne un polynôme scindé à racines simples, donc A2 est diagonalisable. A nouveau, il s’agit de s’être déjà entraîné à calculer les vecteurs propres rapidement.
3a
On prend le temps de faire le calcul au brouillon pour obtenir que le résultat voulu est 4 fois I. A est donc inversible d’inverse ¼ x A barre.
3b
On prend son temps encore une fois puis on calcule A4^4 à partir de A4^2 en élevant au carré. A4^4 vaut 16I, un polynôme annulateur est donc X^4 – 16
3c
Si lambda est une valeur propre de A4, alors d’après le cours, elle fait partie des racines de X^4-16, c’est à dire une des quatre valeurs : { 2, -2, 2i, -2i }.
3d
F4(e0) = e_Sigma et F4(e_Sigma) = 4e0 d’après la question 1b. D’où la stabilité voulue.
C4 = [[0, 4], [1, 0]].
En calculant (facilement) le polynôme caractéristique X^2 – 4, on obtient que les valeurs propres de C4 sont -2 et 2. [-2, 1] et [2,1] sont vecteurs propres associés aux vp respectivement.
Les valeurs propres de la restriction sont aussi des valeurs propres de F4.
-2e0 + e_Sigma et 2e0 + e_Sigma sont donc vecteurs propres de F4 pour les valeurs propres -2 et 2.
3e
F4(e0+e2) = 2(e0 + e2) et F4(e1-e3) = 2i(e1 – e3).
-2e0 + e_Sigma est vecteur propre de F4 pour lambda = -2.
e1 – e3 est vecteur propre de F4 pour lambda = 2i.
e0 + e2 et 2e0 + e_Sigma sont vecteurs propres indépendants pour lambda = 2.
La somme des dimensions des sous espaces déjà trouvés est de 4, soit la taille de la matrice. On les a donc tous déterminés.
Le spectre de F4 est {2i, 2, -2} et la matrice est bien diagonalisable.
4 a i
D’après la question 1b, on obtient que y = 0
4 a ii
Il s’agit encore de calculer une somme géométrique, pas de grande difficulté. Attention à bien mentionner que la raison est différente de 1.
4 a iii
Il faut ici reconnaître la formule du binôme de Newton pour factoriser.
4b
Il faut ici remarquer que 1 est égal à wn à la puissance n, et que xk est son propre conjugué.
5a
Il faut bien prendre son temps pour calculer chaque coefficient de la matrice produit. Le résultat découle alors facilement.
5b
Fn est inversible car sa matrice dans la base canonique l’est. Son inverse est l’application dont la matrice est An-1
5c
Il est plus aisé de partir de l’expression de droite et d’utiliser 5a et les propriétés de cours sur la transposée.
5d
Application immédiate de la formule précédente, en écrivant seulement ce que valent les coefficients.
6a
En considérant X un vecteur propre (et donc non nul) de An pour lambda, on obtient que X̅ est un vecteur propre de An barre pour la val propre lambda barre. En remplaçant An X par lambda X et idem avec les barres, puis en simplifiant par tXbarre X, on a le résultat voulu.
6b
Il s’agit d’un calcul de produit à mener consciencieusement, coefficient par coefficient.
6c
An4 est le produit de An2 avec elle-même. Encore une fois, un produit matriciel sans grande difficulté. On en déduit facilement le polynôme annulateur en rassemblant tout à gauche de l’égalité donnant la valeur de An4.
7a
Il s’agit ici d’isoler partie réelle et imaginaire. Comme Fn est linéaire, il est bon de calculer Fn(e1) et Fn(en) séparément. En jouant sur le fait que wn^n = 1 et les formules d’Euler, on trouve que Fn(e1+en-1) = 2ecos et Fn(e1+en-1) = 2i esin.
7b
G(e1) = n en-1 et G(en-1) = n e1 donc e1+en-1 et e1 – en-1 sont vecteurs propres de G pour la valeur propre n.
Par suite : Fn(e_cos) = ½ Fn( Fn(e1+en-1) ) = ½ G(e1 + en-1) = … et similaire pour Fn(e_sin).
7c
Pour montrer la dimension 2, il faut montrer que les deux vecteurs sont indépendants linéairement. e1+en-1 étant non nul, i e_cos est dans l’espace engendré par e1+en-1, alors en appliquant Fn à cette égalité et en comparant avec 7a on trouve une contradiction. La stabilité provient immédiatement des 2 questions précédentes.
La matrice voulue a pour 1ere colonne (0, 2) et 2eme colonne (n/2, 0).
Le calcul des vp se fait facilement avec la matrice d’ordre 2.
Les valeurs propres de G étant aussi des vp de Fn, on a que Fn admet pour valeurs propres plus ou moins racine de n. Pour les vecteurs propres, il faut les voir comme combinaisons linéaires des vecteurs de base pour se faciliter le travail.
7d
La matrice est la même que précédemment, il faut juste la multiplier par i. Les valeurs propres résultantes sont donc multipliées par i par rapport à la question 7c.
7e
On en déduit assez facilement que les valeurs propres de Fn sont +/- racine(n), +/- i racine(n).
Partie II
8a
phi_n(e0) = en-1 et phi(ej) = ej-1. Pour phi^2 il suffit d’appliquer deux fois phi : phi^2(ej) = ej-2.
8b
Se démontre immédiatement par récurrence
8c
On applique le résultat démontrée dans la question précédente pour obtenir qu’il s’agit de l’identité.
8d
Une fois qu’on a compris le processus, l’expression des matrices est facile. Il s’agit de deux diagonales (une en bas à gauche et une en haut à droite).
9a
Si lambda est une valeur propre de Jn alors lambda^n est une vp de Jn^n, donc comme les vp de Jn^n = I sont toutes 1, on obtient que lambda est une racine de l’unité.
9b
Il suffit de faire le calcul, phi_n étant linéaire et d’utiliser les résultats de 9.
9c
Les wn^k étant des valeurs différentes d’après la question 1, on obtient n sous espaces propres de dimension 1 engendrés par les Fn(ek). Dans la base des Fn(ek), la matrice de Jn est diagonale avec coefficients diagonaux les wn^k. Pour le calcul demandé, il s’agit encore de partir de l’expression de droite pour se faciliter la tâche.
10a
Une matrice circulaire se décompose facilement en somme des puissances de Jn (décomposer selon les coefficients), grâce à la question 8d. Une base est (I, Jn, Jn^2, …, Jn^n-1) et la dimension est n.
10b
Pour la stabilité par x, il suffit de le montrer pour deux éléments de la base (la multiplication étant distributive sur +). Or Jn^k x Jn^l = Jn^l x Jn^k = Jn^(k+l) de manière immédiate d’où le résultat voulu.
11a
Immédiat d’après les remarques faites en 10a.
11b
Les Jn^k étant toutes diagonalisables dans la même base (celle de la question 9c), on obtient directement le résultat. Les valeurs propres sont obtenues à partir de celles de Jn en appliquant le polynôme a0 + a1X + … + an-1Xn-1
11c
Les valeurs propres de Sn sont les wn^k + wn^k^(n-1) donc les 2 cos(2 k pi / n). Cette matrice est inversible si toutes ses vp sont non nulles, ce qui dépend de la valeur de n (si n est premier par exemple, la matrice Sn est inversible, si n=4, observer qu’avec k=1 le cos s’annule)
12a
Il s’agit d’utiliser le même raisonnement qu’en 10b. Niveau rédaction, bien faire les choses en prenant une matrice de Circ et une matrice de Omega quelconque et montrer qu’elles commutent
12b
M commute avec Jn donc g commute avec phi_n donc g stabilise les espaces propres de Jn. Comme ces espaces propres sont de dimension 1, on obtient facilement le résultat voulu.
12c
Il s’agit d’exprimer g dans la base de diagonalisation de Jn : on obtient la matrice diagonale des lambda_k
12d
L’application qui a M associe la matrice des lambda_k est linéaire, c’est même un automorphisme de MnC. Il faut alors remarquer que sa réciproque envoie Dn (le sous espace des matrices diagonales) sur Omega. Omega est donc un sev de dimension n. Par inclusion et égalité des dimensions on peut conclure.
Partie III
13a
Calculs assez faciles, il faut isoler les indices pairs des indices impairs.
13b
Il est facile de remarquer que les deux vecteurs sont égaux, l’algorithme calcule donc bien Fn(x).
13c
La boucle ayant 4 opérations en son sein et étant itérée n/2 fois, cela fait 4xn/2 = 2^(N+1) opérations dans la boucle. Il faut également avoir calculé Fn/2(y) et Fn/2(z), ce qui a un coût de 2u(N-1), d’où la relation de récurrence.
13d
Il faut bien suivre l’indication, on remarque alors que v est arithmétique, on sait donc l’exprimer puis on remonte facilement à u.
14a
Bien prendre son temps pour faire les calculs à partir des définitions. Il est plus judicieux de partir de l’expression de droite.
14b
Il s’agit de bien compter chaque opération et de n’oublier aucun coefficient multiplicatif.
14c
La comparaison de l’équivalent obtenu avec la valeur de la complexité de la question 13 permet de déterminer quel algorithme est le plus rapide (penser aux croissances comparées).
Une analyse réalisée par Ismaël, étudiant en Master à l’Ecole Polytechnique et Youcef, étudiant en Master à l’ENS Ulm
Attention à ne pas comparer une quantité dépendant de n avec une quantité dépendant de N !
