Maths Approfondies ESSEC/HEC 2023 – Analyse du Sujet

Partie I

La première partie est constituée de questions préliminaires sur les moments d’une variable aléatoire réelle et le problème des moments. Cette partie vise à familiariser l’étudiant avec les concepts de base qui seront utilisés dans les parties suivantes.

La première partie est abordable pour des étudiants bien familiarisés avec leur cours et les concepts de base en statistiques et en analyse.

Pour démontrer que la variable X admet des moments de tout ordre et déterminer ces moments dans les cas (a) et (b), les étudiants peuvent utiliser les formules d’espérance et de variance pour les lois uniforme et exponentielle, puis généraliser pour les moments d’ordre k.

Pour le problème des moments M*(J), il est essentiel de comprendre les conditions énoncées et les cas particuliers J = R et J = (0,1). Les étudiants doivent être capables d’identifier et de travailler avec les densités adaptées à M*(J) pour ces cas.

Dans l’ensemble, cette partie sert d’introduction et de base solide pour les parties suivantes du problème. Les étudiants devraient être en mesure de bien comprendre et résoudre cette partie pour être prêts à aborder les défis des parties II et III.

Partie II

Cette partie est relativement complexe et nécessite une bonne maîtrise de l’algèbre linéaire ainsi que de la théorie des matrices et des valeurs propres.

II.1) Étude de matrices

Les questions 2, 3, 4 et 5 portent sur l’étude de la matrice Hn et de la matrice Gn.

La question 2 demande d’expliciter ces matrices en fonction des termes de la suite (un).

La question 3 est une question de calcul matriciel, qui nécessite la connaissance de la forme quadratique.

La question 4 est une question de calcul des valeurs propres de Hn, qui peut être résolue en utilisant la caractérisation des matrices définies positives.

La question 5 demande la même chose pour la matrice Gn.

La question 7 est plus théorique et demande de montrer qu’une série diverge à partir d’une condition sur une intégrale.

La question 8 est une question de programmation en Python, qui demande de compléter une fonction qui vérifie si toutes les valeurs propres de Hn sont positives en utilisant la fonction eigvalsh de la bibliothèque numpy. C’est la première année que python est au programme et si on se base sur les années précédentes avec scilab, ce sont des questions qui rapportent beaucoup de points quand elles sont bien réalisées.

II.2) Non-unicité des solutions

Cette partie est plus théorique et nécessite la connaissance des fonctions trigonométriques, qui ne sont plus autant vues qu’avant avec le nouveau programme.

La question 9 demande d’étudier l’existence d’intégrales.

Les questions 10, 11 et 12 portent sur l’étude de la suite (Sn).

La question 13 permet de donner une formule explicite pour les termes de la suite (Vn) en utilisant la fonction factorielle.

La question 14 demande de calculer une somme en utilisant la formule de Stirling.

La question 15 a pu poser problème aux étudiants, mais l’indication du changement de variable permet d’orienter les élèves ce qui permet d’aller chercher des points précieux.

La question 17 permet de conclure sur le problème M*(J) lorsque J = [0, +∞[.

Dans l’ensemble, cette partie est relativement difficile et nécessite une bonne connaissance des outils d’analyse et d’algèbre linéaire. Cependant, beaucoup de questions reprennent des réflexions types déjà tombées les années précédentes (IPP, récurrences…) ce qui permet aux étudiants ayant bien travaillé et s’étant entraîné sur les annales de bien s’en sortir.

Partie III

La Partie III.1) concerne le problème de Hausdorff avec J = [0,1]. Dans cette partie, on suppose que le problème M* (J) avec J = [0,1] admet une solution notée X.

La question 18 consiste à montrer que Un > 0. Cette question est de difficulté modérée et nécessite l’utilisation de l’espérance de X et d’une inégalité classique.

La question 19 demande de montrer une inégalité plus générale et était plus compliquée.

La question 21 est peut-être un peu plus complexe. La dernière question demande si l’affirmation de la question précédente reste vraie lorsque a = 0. Cette question est assez facile.

Dans la partie III.2, on présente un test en langage Python pour le problème de Hausdorff. Cette partie est relativement brève et concrète, mais nécessite des connaissances en programmation Python pour être comprise et mise en œuvre. Ce sont des points importants pour les candidats, le jury a bien montré que malgré le changement de langage informatique, l’importance de cette partie du programme n’a pas diminué pour les épreuves de mathématiques.

En ce qui concerne les parties III.3 et III.4, Dans l’ensemble, elles sont plus techniques et abstraites que les parties précédentes. Elles mettent en jeu des concepts plus avancés en analyse et en probabilités, ainsi que des techniques d’optimisation. La difficulté de cette partie est donc plus élevée, et peut nécessiter une bonne maîtrise des mathématiques.

Cela dit, certaines questions sont plus accessibles que d’autres et peuvent être vu comme un moyen de « grapiller » quelques points supplémentaires.

Par exemple, les questions 26, 27 et 28 sont relativement directes et n’utilisent pas de techniques avancées. Elles peuvent donc être une bonne occasion de marquer des points sans trop de difficulté.

D’un autre côté, les questions 33 et 34 sont plus techniques et requièrent une bonne compréhension de la théorie sous-jacente. Elles peuvent donc être plus difficiles à aborder et nécessiter une analyse plus approfondie.

En somme, la partie III nécessite une certaine maîtrise des concepts et techniques abordés en analyse et en probabilités. Il peut être utile de bien comprendre les concepts de densité et de fonction de répartition, ainsi que les techniques d’optimisation utilisées. Certaines questions peuvent être plus accessibles que d’autres et peuvent être une bonne occasion de marquer des points, mais il est important de ne pas sous-estimer la difficulté de cette partie.

Conclusion

Ce sujet comporte plusieurs parties, chacune abordant des concepts et des techniques différents en mathématiques. La première partie sur l’analyse de données était relativement abordable, même si certaines questions nécessitaient une certaine réflexion et une bonne compréhension des concepts de base.

La deuxième partie portait sur le problème de Hausdorff, qui est plus complexe et nécessite une maîtrise plus avancée des mathématiques. Les questions de cette partie étaient assez difficiles, en particulier celles qui demandaient des preuves mathématiques rigoureuses.

Dans l’ensemble, ce sujet était assez calculatoire et nécessitait une bonne maîtrise des notions de mathématiques au programme. Les candidats devaient être capables de comprendre les concepts et de les appliquer à des problèmes concrets, mais aussi de résoudre des problèmes plus abstraits en utilisant des preuves mathématiques rigoureuses.