Consultez notre analyse du sujet de l’épreuve de mathématiques ECT ECRICOME 2026 ! Cet article vous détaille chaque exercice afin de discerner les attentes des correcteurs. Nous mettons également à votre disposition un kit de mathématiques pour réussir l’épreuve.
L’analyse du sujet de mathématiques ECT ECRICOME 2026
Exercice 1
Partie 1
1. On procède par récurrence, comme indiqué par le sujet. Pour l’hérédité, il suffit de sommer les deux relations de récurrence.
2.a) D’après 1., bn=1-an. On remplace bn dans la relation donnant an+1.
b) On résout l’équation en isolant l à gauche.
c) Il faut mq vn+1=cste.vn. Pour ce faire, on part de vn+1=an+1-l, on remplace par l’équation donnant an+1 et l.
d) On en déduit la forme générique de vn, et a fortiori de an.
3. a) On utilise 1. : an+bn=1.
b) La limite de q^n quand |q|<1 est 0. Ainsi bn tend vers 3/4.
4.
def rang(s):
b = 0
n = 0
while b < s:
n = n + 1
b = 3/5 * b + 3/10
return n
Partie 2
5.a) On trouve QP=12I.
b) D’où par définition de l’inverse d’une matrice, P^-1 = (1/12)*Q.
6.a) Posons C1, C2, C3 colonnes de P. Il suffit pour cette question de calculer MC1, MC2 et MC3.
b) On sait que les colonnes de P sont des vecteurs propres et que D contient les valeurs propres correspondantes.
Ainsi MP=PD, et P inversible d’après 5. On en déduit le résultat.
7.a) On montre par récurrence que M^n=PD^nP^-1. et on utilise la valeur de P^-1 déterminée en 5b.
c) On utilise 7a. et 7b. Pour rappel, pour calculer D^n, il suffit de mettre les coefficients diagonaux de D à la puissance n.
8.a) On calcule le terme à droite de l’égalité, et on aboutit.
b) On pose Un le vecteur colonne (xn yn 1). Ainsi, on a une relation entre Un+1 et Un. Pour démontrer la relation demandée par l’énoncé, on procède par récurrence.
8.c) On utilise 8b), ainsi que le calcul réalisé en 7c) et on lit la 1re coordonnée.
Exercice 2
Partie 1
1.a) On trouve +infini par propriété de l’exponentielle.
b) On trouve 1 par propriété de l’exponentielle. Ainsi y=1 est une asymptote horizontale à C en +infini.
2.a) On utilise la formule de la dérivée d’un produit (cours).
b) Il suffit pour cela de connaitre l’intervalle où la dérivée est positive et les points auxquels elle s’annule.
3.a) Même technique que 2a).
b) Il suffit d’étudier le signe de la dérivée seconde calculée précédemment. Pour déterminer le point d’inflexion, il faut trouver le point auquel la dérivée seconde de g change de signe.
4.a) y= g'(2)(x-2)+g(2) (cours).
b) Posons T(x) l’équation de la tangente trouvée. Il suffit d’étudier le signe de g(x)-T(x).
5. On rassemble les résultats précédents afin d’être précis sur le graphique.
Partie 2
6.a) Cf. cours.
b) On pose u(t)=ln(t)-1. v'(t)=1/t^3.
c) f est positive, l’intégrale de -inf à +inf vaut 1 (on utilise 6b).
7.a) Si x <e, comme f(t)=0 pour t<e, F(x)=0.
Pour x>=e, F(x) est l’intégrale de f(t), il suffit d’utiliser 6b) pour la calculer.
b) On calcule F(e^2), F(e^3-e^2) pour les deux premières probabilités demandées. Pour la troisième, on rappelle que X ne prend des valeurs qu’à partir de e, ie. P(X>=e)=1. Donc on peut retirer la condition de la probabilité conditionnelle.
8.a) On utilise la formule de la dérivée d’un quotient.
b) On suppose que X admet une espérance. On utilise 8a) et on remarque que l’espérance est l’intégrale de G'(x).
9.b) Pour que X admette une variance, il faut que X^2 admette une espérance, ie que l’intégrale de t^2*f(t) converge. On utilise 9a) pour minorer cette intégrale par une intégrale divergente. Ainsi, X n’admet pas de variance.
10.a) On obtient le résultat par indépendance des Xi.
b) On isole Zn à gauche de la probabilité demandée, on utilise 10a) et l’expression de F pour conclure.
c) Oui, c’est totalement prévisible à partir du support de la loi : X vit à droite de e, mais sans masse en e puisque c’est une variable à densité. Donc demander que le maximum soit inférieur ou égal à e est un événement de proba nulle. La formule de 10b) confirme simplement cette intuition.
Partie 3
11.a) hn(1)=0. En +infini, la limite est 1.
b) On dérive hn et on utilise la croissance de g démontrée en partie 1.
c) On applique ici le schéma classique “continuité + valeurs extrêmes + stricte monotonie”. L’existence vient du théorème des valeurs intermédiaires, l’unicité vient de la stricte croissance.
12. On conjecture que la suite (an) est croissante.
13a) Il suffit d’utiliser la définition de an, puis de remarquer qu’on passe de hn à hn+1 en multipliant par un facteur.
b) On compare les images de an et an+1 par la même fonction hn+1, puis on utilise la stricte croissance de hn+1.
14. On a montré que (an) est croissante. Si elle était majorée, elle convergerait vers l>=1. On utilise hn(an)=1/2, ce qui force an à tendre vers +infini.
Exercice 3
Partie 1
1.a) On reconnaît immédiatement un schéma binomial : répétition de tirages indépendants avec une probabilité constante de succès. Le point essentiel est de bien identifier le “succès” ici : obtenir un foulard avec des roses. R suit B(n,3/10).
b) On utilise les formules de cours.
2.a) Il faut interpréter correctement S=R+C : c’est le nombre de tirages qui ne donnent pas “musique”. On raisonne alors directement sur chaque tirage avec une probabilité 4/5. La question prépare ainsi la reconnaissance d’une loi binomiale pour S.
b) On regroupe ici deux catégories de foulards en un seul type de “succès”. Comme les tirages restent indépendants avec une probabilité constante, on obtient encore une loi binomiale.
c) S suit B(n,4/5). Là encore, il suffit d’appliquer les formules de la loi binomiale.
3.a) V(S)=V(R+C)=V(R)+V(C)+2Cov(R,C). On connait V(R) et V(S) et C suit B(n,1/2) donc on connait V(C).
b) Si R et C étaient indépendantes, on aurait Cov(R,C)=0, ce qui n’est pas le cas donc R et C ne sont pas indépendantes.
c) On utilise la définition du coefficient de corrélation linéaire.
4.a) Il faut lire le script comme une simulation aléatoire de l’expérience. Les seuils 0,3 et 0,8 reproduisent exactement les proportions des trois types de foulards. La fonction renvoie donc une réalisation simulée du triplet (R,C,M).
b)
def approx_cov(n, N):
sRC = 0
sR = 0
sC = 0
for k in range(N):
R, C, M = Foulards(n)
sRC = sRC + R*C
sR = sR + R
sC = sC + C
mRC = sRC / N
mR = sR / N
mC = sC / N
return mRC – mR*mC
Partie 2
5.a) On reconnaît immédiatement un temps d’attente du premier succès. La seule vraie étape est d’identifier correctement le succès : “obtenir un foulard sans roses”. C’est donc une loi géométrique classique. T suit G(7/10).
b) Cf. cours.
6.a) Il faut bien comprendre le sens de l’arrêt de l’expérience. On ne peut pas s’arrêter en 1 tirage, puisqu’il faut avoir vu les deux catégories. Le support commence donc à 2.
b) On traduit directement “l’expérience s’arrête au deuxième tirage” : il faut que les deux premiers tirages soient de types différents. Cela arrive exactement lorsque le 1er tirage rose ET 2nd sans roses OU 1er tirage sans roses ET 2nd rose.
c) On utilise l’union disjointe obtenue en 6.b, puis l’indépendance des tirages.
d) Pour que l’expérience s’arrête au 3ème tirage, il faut que les deux premiers tirages soient du même type, puis que le 3ème soit de l’autre type. Donc soit les 2 premiers sont roses et le 3ème n’est pas rose, soit les 2 premiers ne sont pas roses et le 3ème est rose.
Ces deux événements sont incompatibles donc la probabilité de l’union disjointe des deux événements est la somme des probabilités de chaque événement.
e) On réindice les séries pour avoir des séries géométriques classiques.
7.a) C’est la technique classique de sommation : écrire Sn, puis qSn, puis soustraire. On transforme ainsi une somme pondérée par k en une somme géométrique simple.
b) On passe simplement à la limite dans la formule obtenue à la question précédente. Les termes parasites disparaissent grâce au résultat admis sur n*q^n.
8. On calcule l’espérance à partir de la loi explicite de N. Le résultat de la question 7 sert exactement à sommer les séries qui apparaissent.
9.a) [T=1] signifie que le 1er tirage est sans roses. [N=2] signifie : l’expérience s’arrête au deuxième tirage, donc les deux premiers tirages sont de types différents. Donc l’intersection de ces 2 événements est égale à R1 barre inter R2.
b) On montre que la probabilité de l’intersection de [T=1] et [N=2] est différente du produit des probabilités, d’où T et N ne sont pas indépendantes.
Partie 3
10.
SELECT ref, tissu, motif, quantite
FROM foulards;
11. Une clé primaire doit identifier de façon unique chaque ligne de la table. L’énoncé donne explicitement cette propriété pour ref. C’est donc le choix naturel et attendu.
12.
UPDATE foulards
SET prix = 72
WHERE ref = ’26ECR’;
13. SELECT* signifie qu’on récupère toutes les colonnes. Le WHERE avec AND impose que les deux conditions soient vraies en même temps.
