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Mathématiques Appliquées ECRICOME 2025 – Analyse du sujet

Mister Prépa vous partage son analyse complète du sujet de l’épreuve de mathématiques appliquées ECRICOME 2025. Une épreuve incontournable pour les étudiants de la filière ECG.

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L’analyse du sujet de maths appliquées ECRICOME 2025

Le sujet de maths Écricome 2025 présente une structure classique, avec trois exercices variés couvrant un large éventail de notions du programme. Chacun de ces exercices offre une opportunité aux candidats de démontrer leur maîtrise des concepts clés, faisant de ce celui-ci, un sujet stimulant pour les candidats.

Le premier exercice porte sur l’algèbre, le deuxième sur l’analyse, et le dernier sur les probabilités (avec du Python et du SQL).

Il est important de noter que, en raison de la longueur du sujet, il est possible d’atteindre la note maximale sans nécessairement avoir terminé le sujet.

Voici quelques pistes de résolution pour chaque question :

Exercice 1

1. Puisque le produit de la matrice nulle avec n’importe quelle matrice est nulle, on a que EO3 = M3(R).

Pour EI3, il suffisait de calculer IM+MI=2M. Ainsi M appartient à EI3 ssi M=0. Autrement dit, EI3 = 0.

2. La matrice nulle appartient à EC et EC est inclus dans M3(R). Il suffit ensuite de vérifier que EC est stable par combinaison linéaire.

3. Ici il suffisait de remarquer que A était symétrique. Ainsi la transposée de A est égale à A, ce qui rend l’implication facile à démontrer.

4. (a) A est symétrique donc diagonalisable.

4. (b) On rappelle que lambda est valeur propre de A ssi c’est une racine de son polynôme caractéristique. Or ici A³= 9A. Donc si lambda est une valeur propre de A, elle vérifie bien l’égalité donnée.

4. (c) On a justifié en 4. (a) que A est diagonalisable. On résoud l’équation en 4.(b) et on obtient que les valeurs possibles de lambda sont -3, 0 et 3. Ensuite on cherche les matrices X tq AX = -3X, AX = 0 et AX = 3X. On obtient 3 matrices X non nulles qui sont des vecteurs propres de A. Ainsi, -3, 0 et 3 sont bien les 3 valeurs propres de A, de sous-espace propre de dimension 1. Dès lors D = diag (-3, 0, 3) et les colonnes de P sont les vecteurs propres associés à chaque valeur propre (qu’on a calculé précédemment).

5. On trouve P²= 9I. Ainsi, l’inverse de P est égal à 1/9P.

6. (a) Ici il suffisait de calculer DN + ND. On trouvait que N appartenait à ED ssi a=b=d=f=h=i=0.

6. (b) On déduit de la question précédente une famille génératrice de ED :

Or cette famille génératrice est libre puisqu’elle est composée d’éléments de la base de M3(R). Ainsi dim ED = 3.

7. (a) Pour montrer cette équivalence, il suffit de réécrire M et A. Effectivement, on a : M = PNP^-1et A = PDP^-1. Ainsi, on réécrit AM+MA en fonction de P, N et D. Il suffit ensuite de factoriser par P à gauche et par l’inverse de P à droite et on obtient que AM+MA = P(DN+ND)P^-1.

7. (b) On a déjà trouvé une base de ED. D’après l’équivalence trouvée en 7(a) et puisque M = PNP^-1, la base de EA est :

avec B1, B2 et B3 les 3 matrices formant la base de ED.

8. On développe (A+M)². L’égalité demandée est vérifiée ssi AM+MA=0 i.e. ssi M appartient à EA. Donc l’ensemble des matrices vérifiant cette égalité est EA.

9. D’après 8, ker(phi) = EA. On a montré que dim (EA) = 3. Ainsi il suffit d’utiliser le théorème du rang pour trouver que rg(phi) = 6.

Exercice 2

1. (a) Ici il suffit d’utiliser le théorème de comparaison par négligeabilité pour les intégrales de fonctions positives avec l’intégrale 1/t²qui est une intégrale de Riemann convergente.

1. (b) Pas de difficulté pour I0, il fallait utiliser une intégration par parties pour I1.

2. Comme 1+xt > 1, on a :

Ainsi l’intégrale est convergente par comparaison.

3. F(0) = 1 (cours).

4. On pose x < y et on compare les intégrandes, puis on utilise la croissance des intégrales de fonctions positives (ne pas oublier de dire que les bornes de l’intégrale sont dans l’ordre croissant).

On en déduit que F est décroissante.

5. (a) Pas de difficulté si x = 0. Pour x > 0, on utilise le changement de variable u(t) = 1+xt pour se ramener à une intégrale connue (intégrale de 1/u, dont la primitive est ln). Attention ici, ne pas oublier de justifier que le changement de variable et C1, strictement monotone (et ne pas oublier de changer les bornes d’intégration!!) puisqu’on travaille avec des intégrales impropres !

5. (b) Ici puisque l’intégrande de F(x) est positive et par croissance de l’intégrale, l’inégalité de gauche est vérifiée. De plus, pour t compris entre 0 et 1, exp(-t) est inférieur ou égal à 1. On utilise ensuite la croissance de l’intégrale pour justifier l’inégalité de droite.

5. (c) Idem pour l’inégalité de gauche. Pour l’inégalité de droite, puisque t ≥ 1, 1+xt ≥ 1+x ≥ x. Par décroissance de la fonction inverse et croissance de l’intégrale, on obtient l’inégalité de droite.

5. (d) On utilise la relation de Chasles pour décomposer F(x) :

Or d’après 5(b) et 5(c) chaque composante de la somme tend vers 0 en l’infini. Donc la limite de F en l’infini est 0.

6. (a) Ici il suffit de calculer la différence en ramenant tout au dénominateur et on obtient l’égalité voulue.

6. (b) On a :

Donc :

Comme 1/(1+xt) ≤ 1, on majore l’intégrale :

7. (a) On utilise le fait que I0 – xI1 = 1 -x et la question précédente.

7. (b) Ici il suffit d’interpréter directement le DL. Par définition :

Donc :

8. Ici pas de difficulté majeure si on a trouvé les bonnes réponses aux questions précédentes.

Exercice 3

Partie I

1. Ici la fonction est positive, continue sauf en un nombre fini de points. Il suffit de vérifier que l’intégrale de la densité sur -infini, + infini est bien égale à 1.

2. (a) Sous réserve d’existence, on calcule l’espérance de Xi. On obtient une intégrale de Riemann qui converge ssi i > 1. Donc E(Xi) existe ssi i est supérieur ou égal à 2.

2. (b) L’espérance trouvée est strictement décroissante en i, donc la catégorie la plus favorisée (espérance max) est i =2. Ainsi on part de la catégorie n pour arriver à la catégorie 2.

3. Si x <1, Fi(x) =0 d’après la densité. Puis on intègre la densité pour toruver la fonction de répartition quand x > 1.

4. (a) On calcule la fonction de répartition de Vi.

Pour x < 1 : Vi > 1 donc P(Vi ≤ x) = 0.
Pour x ≥ 1 :

On retrouve exactement la fonction de répartition de Xi.

4. (b) Ici on utilise la question 4(a) :

import numpy as np

import numpy.random as rd

def simulX(i) :

U = rd.random()

return 1/(U**(1/i))

Partie II

5. D’après l’énoncé, Y = 1 + Z où Z suit une loi binomiale de paramètres n-1 et p. Ici on a uniquement le droit à la fct random. On rappelle qu’une loi binomiale de paramètres n-1 et p consiste en p-1 expériences de Bernoulli “d’affilée” (et indépendantes) :

import numpy as np

import numpy.random as rd

def simulY(n,p):

Z=0

for i in range (1,n):

if rd.random() < p:

Z = Z+1

return 1+Z

def loiY (n,p):

N = 10000

loi = [0]*n

for k in range (1, N+1) :

y = simulY(n,p)

loi[y-1] = loi[y-1]+1

for i in range (0,n):

loi[i] = loi[i]/N

return loi

import numpy as np

import numpy.random as rd

import matplotlib.pyplot as plt

def affiche_loiY(n,p):

loi = loiY(n,p)

x=np.arange(1,n+1)

plt.bar(x,loi)

plt.schow()

8. (a) Ici question de cours.

8. (b) individu -> i_insee ; departement -> d_numero ; profession -> p_ pcs

8. (c) Ici il faut identifier les entités (les tables individu, departement et profession) et trouver pour chaque entité sa clé primaire (cf. 8b). Puis il faut repérer le lien entre les tables à travers des clés étrangères.

8. (d) Il faut récupérer les codes PCS des professions exercées par des individus résidant dans un département précis (Eure-et-Loir). On relie donc la table individu à departement via le numéro de département, puis on filtre sur le nom "Eure-et-Loir" et extrait les professions associées. L’usage de DISTINCT évite les doublons.

8. (e) On te demande de croiser les individus avec les catégories socio-professionnelles de leur profession. Pour cela, il faut relier la table individu à profession via le code PCS, et extraire le i_insee ainsi que la p_categorie. Il faut aussi filtrer les résultats pour ne garder que les catégories de 1 à 6.

Partie III

9. Pour tout i, on a montré que Fi(x) = 0 quand x < 1. Or par définition, $Z_{n}$ suit donc la loi de $X_Y$ . Donc si x<1, Gn(x) = 0.

10. (a) Cette égalité est vérifiée par définition des variables aléatoires.

10. (b) On utilise la formule des probabilités totales avec le système complet d’événements (Y=i) (i entier entre 1 et n) et le fait que Y-1 suive une loi binomiale.

10. (c) On utilise l’expression de Fi(x) donnée dans la question 3. Puis on sépare en deux sommes et on utilise le binôme de Newton.

11. On montre que Gn est continue sur R et qu’elle est C1 sauf en un nombre fini de points.

12.

def sondage (n,p):

y = simulY(n,p)

z= simulX(y)

return (z)

13. (a) Il suffit de remplacer p par 1/n dans l’expression déjà trouvée de Gn(x).

13. (b) On fait tendre Gn vers +infini en transformant la puissance en exponentielle puis en utilisant les équivalents classiques. On obtient que Zn converge en loi vers Z de fonction de répartition G tq :