Mathématiques Approfondies ESSEC / HEC 2026 – Analyse du sujet

Partie I

1) En passant par la matrice P associée à l’endomorphisme et l’expression des coefficients du produit, on montre que la multiplication par P va venir réordonner les coordonnées du vecteur. D’où le résultat par passage aux applications.

2)On peut utiliser la version matricielle de l’égalité de la question précédente pour démontrer celle-ci, en réutilisant le fait que deux endomorphismes coïncidant sur une base sont égaux. Pour l’inverse, il suffit de prendre la permutation inverse à celle de P.

3)Ici il fallait utiliser les propriétés données dans l’énoncé sur le symbole de Kronecker et les matrices de permutation pour montrer que les colonnes de P forment une famille orthonormée et donc que la matrice est orthogonale.

4.L’initialisation est facile à démontrer. Pour l’hérédité, on construit une permutation qui place la plus grande coordonnée en première position et applique l’hypothèse de récurrence aux coordonnées restantes.

5.Après avoir démontrer l’existence de la permutation, on cherche à montrer qu’elle est unique. Pour ce faire, il suffit de poser les deux classements et par itération, en enlevant à chaque fois la valeur la plus grande, les x sont forcément égaux. On aurait également pu passer par une récurrence.

6)imax=i
for k in range(i+1, n):
if Y[k] > Y[imax]:
imax = k
Y[i], Y[imax] = Y[imax], Y[i]

Partie II

7)(a) Pour les matrices de permutation, il y a un seul 1 par ligne et par colonnes, les autres coefficients étant nuls, la démonstration va de soi. Pour les matrices orthostochastiques, la positivité des coefficients est immédiate tandis que les autres propriétés viennent du fait que Q est supposée orthogonale donc que Q^tQ = I.

(b) En posant une matrice contenant deux fois ½ à chaque ligne et chaque colonne et 0 dans le reste, on peut montrer qu’elle est bistochastique mais pas orthostochastique.

8)(a) Il y en a 2 : la matrice identité et la matrice obtenue en interchangeant les 0 et les 1 de ses colonnes

(b) La réciproque se démontre facilement en vérifiant les 3 propriétés. Pour le sens direct, il faut poser une matrice S et résoudre les équations dont les inconnues sont ses coefficients en leur appliquant les différentes contraintes de la bistochasticité.

9)(a) Question de cours (dénombrement) : 3!. Sinon on pouvait directement compter les différentes permutations possibles.

(b) On se fie à la position des 1 pour retrouver les permutations correspondantes.

(c) Comme S est bistochastique, la somme des coefficients de chaque ligne et chaque colonne donne 1. En appliquant ces propriétés à chaque coefficient, on trouve le résultat.

(d) On retire le premier terme en beta 0 qui est égal au minimum des termes diagonaux, puis on écrit le reste comme combinaison positive des autres matrices de permutation en comparant les coefficients.

(e) Comme chaque matrice de permutation a des lignes de somme 1, la somme des coefficients beta vaut forcément 1 puisque S a elle aussi des lignes de somme 1.

10)

def bistochastique(n, iter):

    A = np.random.rand(n, n)

    for k in range(iter):

        A = A / np.sum(A, axis=1) 

        A = A / np.sum(A, axis=0) 

    return A

Partie III

11)On pose le calcul des coefficients du produit matriciel puis on utilise les propriétés du symbole de Kronecker pour conclure.

12)On utilise le fait que permuter les coordonnées revient à multiplier par une matrice de permutation.
13. Le sens direct est immédiat par symétrie de f. Pour la réciproque, on utilise le fait la permutation ne change pas le tri et conserve donc la valeur.
14. On teste chaque fonction en permutant les coordonnées. Si le résultat ne change pas alors elle est symétrique.

15)(a) On applique les règles et propriétés de dérivation des fonctions à plusieurs variables.

(b) On utilise la symétrie de f.

(c) On dérive l’égalité de la question précédente en identifiant correctement les dérivées partielles.

16)On utilise la définition de la S-convexité avec une matrice de permutation (qui est bistochastique d’après 7/a/).

17)On peut procéder par récurrence.
18. On utilise le théorème de Birkhoff-Von Neumann admis en début de partie III pour écrire B comme combinaison linéaire de matrices de permutation. Ensuite la convexité de f nous permet de réutiliser l’inégalité de la question précédente pour en déduire la S-convexité de f.

19)(a) On applique les règles de dérivation pour obtenir une dérivée sur R en fonction des dérivées partielles de f.

(b) En remarquant que le passage de f à g se fait en multipliant un vecteur de R^2 par une matrice bistochastique, on peut utiliser la S-convexité de f pour montrer que g est inférieur ou égale à f avec f(x) = g(0). La deuxième inégalité s’obtient en retrouvant le taux d’accroissement de g en 0 à partir de la première.

(c) Il suffit d’évaluer la dérivée de g en 0 puis d’utiliser le résultat de la question précédente sur g’.

20)En fixant toutes les coordonnées de x sauf 2, on retombe sur une fonction à 2 variables et on peut appliquer les résultats précédents.

21)Pour le sens direct, en reprenant le résultat de 20/ on peut utiliser la S-convexité de f pour démontrer la croissance de h’ et donc la convexité de h. Pour la réciproque, il faut montrer que S est symétrique et convexe pour pouvoir conclure.

Partie IV

22) Il suffit de faire un raisonnement par récurrence en utilisant la propriété selon laquelle la trace est invariante par changement de base.

23) Il faut écrire l’expression du produit et identifier les coefficients diagonaux.

24)A est symétrique par hypothèse donc le théorème spectral nous donne le résultat.
25. (a) On diagonalise A puis on utilise le fait que F est spectral.

(b) On passe par une matrice de permutation pour pouvoir utiliser le résultat de la question 23.

(c) On utilise la linéarité de D pour retrouver la définition de la convexité sur f.

26)Le sens direct vient de la question 25. La réciproque se démontre en appliquant le théorème spectral à A puis avec la symétrie de f.

27)(a) On diagonalise A puis on s’intéresse à ses coefficients diagonaux.

(b) C est symétrique donc on peut la diagonaliser et en développant l’égalité en remplaçant par A + C, on retrouve le résultat en se référant aux questions 24/ et 27/a/.

(c) On utilise la question précédente pour obtenir une écriture des valeurs propres de A+B comme somme de deux matrices bistochastiques. Ensuite, comme f est symétrique et convexe, on utilise sa convexité puis sa S-convexité (d’après 18/) pour conclure.

(d) En réutilisant la définition de DG(A) et de F, on obtient le résultat en appliquant successivement le résultat de la 27/a et la S-convexité de F.

28)(a) A est symétrique donc on décompose chaque Xk dans une base orthonormée de vecteurs propres de A. On développe alors le membre de gauche en faisant apparaître la somme des valeurs propres et on exploite le fait qu’elles sont rangées par ordre décroissant. La deuxième inégalité s’obtient en sommant la première.

(b) On prend les vecteurs de A+B associés aux plus grandes valeurs propres pour pouvoir écrire la fonction comme une somme que l’on peut majorer avec 28/a/.

29)H(A) dépend des valeurs propres donc le caractère spectral est immédiat. En réécrivant H comme combinaison linéaire des fonctions sommes, qui sont toutes convexes d’après 28/b/, on montre que H est convexe.

30)Ici il faut construire une fonction H, spectrale et convexe, adéquate pour pouvoir appliquer 27/d/ à A et à B distinctement. Ensuite, en combinant les deux inégalités, on obtient le résultat.