L’analyse du sujet de mathématiques ECT du concours ECRICOME 2025 est maintenant disponible. Celle-ci vous permet de mieux cerner les difficultés de l’épreuve et de comprendre les attentes du jury. C’est un outil précieux afin de vous préparer pour vos concours.
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L’analyse du sujet de mathématiques ECT ECRICOME 2025
L’épreuve de mathématiques ECT d’Ecricome vient de sonner le début des concours de 2025 ! Il s’agit d’un sujet encore une fois relativement long, et dont le format classique en trois exercices n’a pas changé. Le premier exercice était particulièrement complet, et ses quatre parties permettaient de traiter une grande partie du cours du programme, allant des matrices au SQL (bases de données), en passant par les suites et les probabilités. Le deuxième exercice était principalement axé sur le programme d’analyse et présentait des questions très classiques (sauf sur la fin). Enfin, le troisième exercice traitait des VAR à densité et permettait lui aussi de récupérer des points facilement, sous réserve d’une bonne maîtrise du cours.
Exercice 1
Partie 1
1a) Utiliser l’expression de J=M-2I et les données de l’énoncé
1b) Multiplier l’expression de la question précédente par
elle-même, on a donc J²=3I
1c) En calculant rapidement M², on remarque que M²=7J+4I
1d) En remplaçant dans la question précédente J par M-2I, on
obtient le résultat demandé
2a) D’après 1d), R est un polynôme annulateur de M
2b) On remplace les X par 2 pour vérifier que l’expression s’annule.
Cela permet de factoriser le polynôme par (X-2), et de trouver finalement R(X)=
(X-2)(X-5)
2c) Ainsi, d’après le cours, les valeurs propres possibles
sont 2 et 5 (Attention, jusqu’ici rien ne permet de conclure qu’elles le sont
réellement)
3) On obtient MU=5U, donc U étant un vecteur non-nul, 5 est
bien valeur propre de M
4) On calcule de même MV et MW, on obtient MV=2V et MW=2W et
on conclut de même
5a) On a QP=3I après produit matriciel
5b) On a d’après la question précédente : (1/3)Q*P=I,
donc P est inversible et P^(-1)=(1/3)Q
5c) Un rapide produit matriciel permet de conclure
5d) On peut raisonner ici par récurrence
Initialisation pour n=0 : d’un côté, M^0=I et d’un
autre côté, (1/3)P*D^0*Q= I d’après 5b)
Hérédité : Soit n un entier naturel fixé
On a alors M^(n+1)= (1/3)P*D^n*Q*M par hypothèse de
récurrence. Il suffit alors d’utiliser 5c) et l’inversibilité de P pour
transformer M par P*D*P^(-1), et en associant ensuite P et son inverse (1/3)Q
dans cette grande expression en commutant le 1/3, on obtient bien l’égalité de
l’hérédité
Partie 2
6a) On calcule Un+1 grâce aux expressions de An+1 et Bn+1.
On a ensuite pour tout n entier naturel : Un=U0*5^n=(5a0+b0)*5^n=5^n
6b) De même, on calcule Vn+1 et on trouve que (Vn) est une
suite géométrique de raison r= 2 et de premier terme V0= -1. On a donc pour
tout n entier naturel : Vn= -(2^n)
6c) D’après les expressions de Un et Vn en fonction de An et
Bn, on peut sommer la ligne 1 (L1) et la ligne 2 (L2) pour annuler les termes
en Bn et trouver 3An= Un+Vn, d’où An=(1/3)*(5^n-2^n). On peut faire de même
pour obtenir l’expression de Bn, en faisant par exemple 2L1+5L2
7) La récurrence était ici demandée explicitement :
Initialisation : L’égalité est facilement vérifiée pour
n=0
Hérédité : Soit n un entier naturel fixé
On a alors :
M^(n+1)= (AnM+BnI)*M= AnM²+BnM. Il fallait ensuite réutiliser la question
1d) pour transformer M², puis factoriser par M pour faire apparaître An+1.
Partie 3
8a) P(X2=1) est la probabilité qu’au deuxième jour, le chat
soit encore dans la pièce n°1. Par énoncé, cette probabilité vaut 3/5. On sait
que [X2=1], [X2=2] et [X2=3] forment un système complet d’événements, et comme
les probabilités de [X2=2] et [X2=3] sont les mêmes (équiprobabilité), on a par
incompatibilité (le chat ne peut pas être dans 2 maisons en même temps) les
résultats demandés.
8b) On a d’après la formule de l’espérance : E(X2)= 8/5
8c) On pouvait
utiliser ici la formule de Koenig-Huygens en calculant E(X2²) au préalable avec
le théorème de transfert. Cela nous donne donc un écart-type de 4/5.
9a) On a X3(Ω)=[[1 ;3]],
donc on cherche désormais à calculer P[X3=1], P[X3=2] et P[X3=3]. Pour ce
faire, on peut faire un raisonnement probabiliste et appliquer la formule des
probabilités totales au SCE [X2=1], [X2=2] et [X2=3] et on a P[X3=1]= 3/5*P[X2=1]+1/5*P[X2=2]+1/5*P[X2=3].
On obtient après calculs : P[X3=1]= 11/25 et P[X3=2]=P[X3=3]=7/25
9b) On cherche ici P(X2=2|X3=3) (Probabilité de [X2=2]
sachant [X3=3]), que l’on peut calculer grâce à la formule de Bayes (P(X3=3)
étant bien non nulle) et on trouve 1/7.
10a) Cette question était fastidieuse, néanmoins un raisonnement
similaire à 9a) était possible. P(Xn+1=1)=3/5P(Xn=1)+1/5P(Xn=2)+1/5P(Xn=3),
de même pour P(Xn=2) et P(Xn=3), puis on reconnaît l’égalité demandée.
10b) On raisonne ici par récurrence, en initialisant pour
n=1 et en utilisant la question précédente pour l’hérédité.
10c) Il s’agit du vecteur colonne Cn que l’on calcule avec
la question précédente avec un rapide produit matriciel.
11a) On utilise ici la loi de Xn et la formule de l’espérance
11b) On a
lim E(Xn)= 2
Partie 4
12) Cette requête retourne les noms (nomchat) et les numéros
de puce (puce) de tous les chats de couleur grise et de sexe féminin
dans la table chats.
13) Il faut modifier l’enregistrement existant dans propriétaires
pour associer la puce du nouveau chat à Mme Michel.
UPDATE propriétaires
SET pucechat = 987654321
WHERE idprop = 1234;
14) INSERT INTO chats (idchat, nomchat, race, sexe, couleur,
age, poids, puce)
VALUES (457, ‘Niels’, ‘birmane’, ‘M’, ‘blanche’, 1, 2,
987654321);
15) SELECT chats.nomchat, race, puce, nomprop, adresse
FROM chats
JOIN propriétaires
ON chats.puce = propriétaires.pucechat;
Exercice 2
Partie 1
1) On dérive les deux expressions sur R
2a) en -infini : – infini et en +infini : +infini
par somme de limites
2b) g’(x)>0 donc g est strictement croissante sur R
3a) S= {0}
3b) g est strictement négative sur R-* et strictement
positive sur R+*, et s’annule en 0
3c) Ainsi, f est strictement décroissante sur R-* et strictement
croissante sur R+*, et sa courbe admet une tangente horizontale en 0. Les limites
en +/- infini sont + infini
3d) On a f’’(x)= f(x)>0, donc f est concave sur R.
4) g’’(x)= g(x), donc d’après 3b), g est concave sur R-* et convexe
sur R+*, et sa courbe admet un point d’inflexion en 0
5a) Question de cours à ne pas rater
5b) On résout l’inéquation g(x)-T(x)>0 par exemple
6a) Il suffit d’utiliser les expressions des deux fonctions
6b) La courbe de f est donc toujours au-dessus de celle de g
9a) h’(x)= g(x)-2x
9b) On utilise 5c) et l’expression de h(x) pour conclure
9c) k’(x)= f(x)-2-x²
9d) On utilise les variations de k et son expression pour
conclure
Partie 2
10) On utilise le théorème de la bijection sur g, qui
vérifie bien la continuité et la stricte croissante sur R
11) g(0)=0<1=g(U1)<e-1/e=g(1), on conclut donc par
stricte croissance de g sur l’intervalle considéré
12) Même raisonnement ici
13a) g(Un+1)=1/n+1<1/n=g(Un), même raisonnement encore
13b) On conclut avec le théorème de la limite monotone sur
la suite (Un), qui est décroissante et minorée
14a) import
numpy as np
def d(x, n):
g_x = np.exp(x) – np.exp(-x)
return g_x – 1/n
14c) On conjecture que la suite (Un) tend vers 0
Exercice 3
Partie 1
1) Pour l’ensemble de la question 1, une bonne maîtrise du
cours et de l’énoncé permettait de s’en sortir aisément.
2a) Cours : points à ne surtout pas manquer
2b) On transforme l’inégalité de gauche avec celle de
droite, en utilisant la stricte croissance et la continuité de la fonction
exponentielle, sans oublier de changer de signe lors du passage du -1.
2c) On utilise le fait que si x<0, exp(-x)>1 ce qui
est impossible pour U
2d) F_X(x)= 0 si x<0 et 1-exp(-x) si x>=0, d’où une
densité f_X(x)= 0 si x<0 et exp(-x) sinon
2e) import
numpy as np
def
SimulT():
U = np.random.uniform(0, 1)
T = -np.log(U)
return T
Partie 2
3a) On utilise la primitive -exp(-x)
3b) On fait alors tendre A vers +infini dans 3a)
4) On peut poser comme fonctions u(x)= x^n/n et v(x)=exp(x).
Ne pas oublier de préciser que les fonctions sont bien de classe C1.
5) On raisonne par implications, en supposant que nIn(A) est
donc fixé pour A qui tend vers +infini, et le terme A^n/exp(A) tend alors vers
0 par croissance comparées. Ainsi, avec 4, In+1(A) admet aussi une limite
finie.
6) On utilise dans la récurrence la question précédente
Initialisation faite à la 3b)
Hérédité à justifier soigneusement : l’hypothèse de
récurrence, qui était en fait l’hypothèse de la 5), permet de conclure
En passant à la limite, on a l’égalité
7) On peut refaire ici une récurrence en utilisant la 6)
Partie 3
8) fn doit vérifier les conditions du cours : son
intégrale sur R doit valoir 1 et elle doit être positive
9a) On utilise la formule de l’espérance et les réponses de
la partie 2
9b) On utilise ici la linéarité de l’espérance. Concernant
la variance, il est indispensable de préciser que les VAR sont indépendantes.
9c) On injecte les valeurs obtenues à la question précédente en adaptant l’inégalité à la question
9d) n semble proche de 3
