Maths E HEC/ ESSEC BS 2021 – Analyse de sujet

Découvre sans plus attendre l’analyse du sujet de maths E HEC/ ESSEC BS 2021 une épreuve pour les candidats de la voie économique (ECE).

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Partie I :

La partie I peut dérouter certains préparationnaires par son côté assez théorique et peu standard. Les probabilités sont à l’honneur, il faut ainsi bien lire le sujet, et surtout profiter des questions d’application des concepts pour ensuite revenir sur les questions théoriques et pleinement les comprendre. Il y a toutefois certaines questions plus faciles que d’autres, il faut alors ne pas se décourager et essayer d’en traiter le maximum durant cette partie! 

Question 1)

La difficulté est de comprendre à quoi sert chaque variable X, Y et Z. Z doit être une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre Y (avec Y un réel de ]0;1[ ). 

On nous propose une fonction X(t), ce qui signifie qu’à chaque appel de cette fonction, il faudra spécifier ce t. On sait d’après la définition que si Y vaut t, alors Z vaut Xt. En posant dans le script “Z=X(Y)”, on stipule donc que Y vaut t. Il nous faut donc calculer X pour que X suive une loi géométrique de paramètre Y=t. 

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son ensemble de définition est N* et sa fonction de répartition est de la forme F(k)=1-q^k (avec q=1-p). D’où (avec p=t et k=r):

function r=X(t)

r=1

while rand()>1-(1-t)^r

r=r+1

end

endfunction

Y=rand()

Z=X(Y)

disp(Z)

Question 2)

a): C’est la probabilité de l’intersection de deux événements non indépendants. (si le probabilité du SCE [Y=y] est différente de 0, par définition).

On aura la probabilité que [Z=k] se réalise sachant que [Y=y] soit réalisée. 

Comme l’événement [Y=y] est réalisé, on a Z qui suit une loi mu(Y).

De plus, comme on prend y appartenant à Y(Ω), on a Z(Ω)=Xy(Ω).

Dès lors, l’événement [Z=k] = [Xy=k]

Enfin, on remplace P([Xy=k]) par sa valeur, fk(y)

Ensuite, si on suppose que P([Y=y])#0, alors on peut diviser de chaque côté de cette équation par P([Y=y]). On se retrouve alors avec une formule du type P(A∩B)/P(B), ce qui est égal à P(A) sachant B.

b) Ici on utilise la formule des probabilités totales, avec le SCE [Y=y], y appartenant à Y(Ω).

D’où: P([Z=k])=somme des y appartenant à Y(Ω) de P([Y=k]∩[Z=k])

Et on remplace les éléments de la somme par les éléments de la question 2)a). 

On remarque ainsi que par théorème de transfert on retrouve E(fk(Y)). 

c) Il faut appliquer le résultat de la 2)b) (en appliquant le théorème de transfert) et utiliser les données fournies dans la question.

L’univers est bel est bien celui d’une loi géométrique (étant donné qu’on prend l’univers de la variable soumise au théorème de transfert, soit N*).

Ensuite, il suffit d’effectuer le calcul en faisant intervenir les lois de Xn et Yn et de correctement gérer la série.

Étant donné qu’on a l’univers d’une loi géométrique et la probabilité d’une loi géométrique, Z suit une loi géométrique de paramètre p.

Question 3)

Encore une fois on va utiliser le théorème de transfert, mais en appliquant avec la fonction g qui est elle même l’espérance de Xt. Ici comme t appartient à J, l’univers de Xt devient N^*). Dès lors, on applique la définition de l’espérance de Xt (somme k=1 à +∞ des k*P([X=k]) (on peut faire commencer cette série en 0 car cela ne change rien…)). On retrouve ainsi le résultat demandé.

On montre que l’espérance converge en inversant l’ordre des deux sommes de la 3)a). Comme E(Xt) existe et que la somme des P([Y=y]) sur Y(Ω) est égale à 1, E(g(Y)) existe. Pour l’égalité ensuite, il suffit de reprendre les éléments qui lient Z et Xt.

Question 4

Question qui demande de prendre du recul. Pour appliquer le théorème de transfert, il faut passer par les intégrales! (étant donné que Y est une loi continue). Ensuite, il faut réaliser une IPP, un changement de variable et on trouve le résultat. De plus, Z n’admet pas d’espérance étant donné que la série diverge. 

On demande l’espérance d’une loi géométrique de paramètre t. (cours). Ensuite, on applique le raisonnement de la 3)a) avec une loi uniforme continue (donc des intégrales). On trouve E(g(Y))=1.

Question 5:

a)Ici, il suffit encore une fois d’appliquer le raisonnement de la 2)b). Mais cette fois-ci, on applique le théorème de transfert avec une loi continue, donc passage par intégrale oblige! On remplace ensuite par les formules qu’on connait et on trouve la première égalité. (en factorisant les exponentielles). Ensuite pour la deuxième égalité, il faut poser un changement de variable x=(λ+1)t

1. On fait une récurrence et une IPP pour l’hérédité. 
2. Pour trouver la loi de Z, on utilise le résultat de la question 5)a. (avec l’intégrale qui vaut 1 à droite, pour tout k d’après la récurrence). On reconnaît ainsi la loi de Z+1.
3. Il faut utiliser la relation trouvée en 5)c.

Partie 2:

La partie 2 nous place dans l’application concrète du cadre théorique de la partie 1. Cette partie est plus difficile que la précédente, d’autant plus que vous avez déjà passé beaucoup de temps à réaliser la partie 1 (qui n’était pas non plus facile). Donc il est normal de traiter potentiellement moins de questions qu’à la partie 1. On remarquera l’effort des concepteurs pour nous permettre d’appliquer les mathématiques au contexte actuel de pandémie mondiale! 

Question 6:

Cette question demande une bonne compréhension de toutes les définitions de l’énoncé. Il faut prendre le temps de lire et relire l’énoncé et on démontre la propriété (*).

Question 7

1. Question faisable dans la mesure où il fallait utiliser l’indépendance entre In et Rn pour montrer que E(Yn) existe. (l’espérance de deux variables indépendantes). Ensuite, pour trouver E(Zn+1), il faut utiliser le résultat (2) de la partie I. On trouve ainsi le résultat demandé. (en reprenant E(Yn))
2. Ici on veut montrer que E(Zn) existe pour tout n.Il faut utiliser la question précédente et des éléments de l’énoncé. Ensuite la relation (3) se démontre par récurrence. C’est est une application du résultat de la 7)a) et de la 6).

Question 8

Le tout est d’arriver à retranscrire le résultat de la question précédente (7b) en langage Scilab. Il faut d’abord calculer tous les zn, car la formule demande les z(n-k). Un script possible:

function r=z(Delta,n)

if n = 0 then r=1

else A = [Delta(1)]

Z=[1]

for i=1:n

Z=[(i+1)/(i+2)*A*Z;Z]

A=[A;Delta(i)]

end

disp Z(1)

endfunction

Question 9:

Un et Vn sont deux suites d’événements presque certains en l’infini. Donc la limite de leurs probabilités respectives est 1. Ainsi la probabilité de la limite de l’intersection (finie) de Un et Vn vers + ∞ est 1.

Question 10: 

La série de questions est difficile et demande de prendre du recul sur le sens des variables aléatoires. 

1. Il fallait comprendre l’intersection des événements [Zk=0] (0 individu infecté et donc 0 individu potentiellement contagieux le n-ième jour)

1. La durée de contamination à partir du jour n est (n+d). Dès lors, si on a aucune contamination de n à (n+d), il n’y en a aucune de n à (n+p) (avec p ≥d). Donc leurs probabilités respectives sont égales. 

Même si on a démontré le résultat précédent, on peut le supposer pour démontrer la probabilité P(An). (Si vrai pour (n+p), donc vrai en +∞). D’où on trouve le résultat demandé pour P(An).

1. Si la limite de P([Zn=0])=1, alors on reprend la question 9), 10)a) et la définition d’un événement presque sûr. 
2. Il faut revenir à la question 10)c et à la définition de convergence en loi. 

Question 11:

1. Il faut utiliser dans la partie 1 la relation 1). 
2. La question n’est pas facile. Mais on peut avoir quelques points en démontrant une inégalité qui est assez classique en prépa.

Partie 3:

Enfin la dernière partie est dans le prolongement de la deuxième, mais avec un ajout de l’algèbre. Après plusieurs heures et la fatigue qui s’accumule, la partie paraît très dure. Il faut alors être stratège et repérer les points à avoir rapidement dans le peu de temps qu’il vous reste. 

Question 12

1. Il n’y a pas de forme indéterminée, quand t tend vers 1, cette somme tend vers somme de k allant de 0 à d des ak = 1/α somme de k allant de 0 à d des αk = α/α =1

Pour raisonner par l’absurde, il faut commencer par supposer qu’il n’existe pas de θdans ]0;1[ tel que cette condition soit validée. En développant, on aboutit à une contradiction, ce qui prouve la validité de cette affirmation.

1. On peut répondre en raisonnant par récurrence sur n, et en utilisant les définitions de chaque variable.
2. Il s’agit de déterminer la limite de Mθ^n, puis d’utiliser le théorème de convergence par majoration si celle ci vaut 0.

Question 13:

1. On peut raisonner par récurrence pour répondre à cette question. Il faut éviter de trop développer les calculs matriciels pour ne pas perdre trop de temps. Ici, on ne demande pas de calculer A, mais seulement de montrer qu’elle existe.
2. De même, une récurrence semble le raisonnement adapté.

Question 14:

1. Pour répondre à cette question, il faut écrire A dans sa totalité. Ceci est faisable car A est une matrice carrée d’ordre 3 (seulement dans cette question), et que la première ligne est donnée. On calcule A grâce aux équations de la question 14, puis on trouve ses valeurs propres grâce à la méthode classique vue en cours maintes et maintes fois. 
2. En continuant les calculs de 14a), on peut trouver les vecteurs propres associés aux valeurs propres de A. Il faut ensuite montrer que la famille formée par ces vecteurs est libre (car on sait déjà qu’elle est génératrice), et ce sera une base de M3,1(R)
3. Il faut reprendre toutes les définitions précédentes pour calculer U0, puis résoudre un système d’équations aux trois inconnues s1, s2 et s3.
4. Avec le résultat de la question 13b), associé à l’équation de la question 14c), on calcule cette limite aisément.

Question 15:

1. On nous demande de démontrer une équivalence relativement complexe. La technique dans ce cas est de montrer l’implication dans un sens (si je suppose A, alors B), puis dans le sens inverse (si je suppose B, alors A). Cette question demandait des calculs potentiellement longs, donc il ne fallait pas se décourager, et garder en tête que vos efforts de calculs peuvent être pris en compte positivement par les correcteurs.
2. Il faut raisonner dans le cas général (la dimension de A n’est plus 3). Il faut poser des notations pour les coefficients de A ainsi que pour la matrice colonne que l’on crée pour construire notre raisonnement (choisir X n’est ici pas l’idéal, car cette notation est déjà utilisée dans les questions précédentes). Il faut utiliser le résultat de la question 15a) en remplaçant λ par 1.
3. On réutilise le résultat de la question 15a), mais cette fois-ci en montrant que l’égalité n’est pas vérifiée. Ainsi, l’équivalence 15a) stipule que λ n’appartient pas à Sp(A). Pour le cas de la valeur absolue de λ, on peut raisonner en deux parties, lorsque λ <-1, puis quand λ >1.

Question 16

a)Il faut partir de la définition d’une famille libre donnée dans l’énoncé pour prouver que les coefficients de la matrice W forme une famille libre et que W appartient à H puis partir de la question 13.

1. b) U0 a tous ses coefficients nuls sauf le premier qui vaut 1. V est le vecteur propre de A associé à la valeur propre 1. Cette question est très compliquée car elle demande beaucoup de notations différentes.

1. c) Question difficile

Question 17

C’est la question bilan de la partie. En fonction des hypothèses (H1, H2 ou H3), zn converge vers 0, une valeur ou diverge. Dès lors, il faut utiliser ces éléments pour terminer la réflexion.  

Conclusion: 

Cette année les concepteurs ont fait fort. Le sujet était exclusivement accès sur des notions probabilistes et algébriques (à la fin). Sujet très difficile pour tous au final. Il nous permet toutefois d’effleurer les enjeux actuels de modélisation mathématique liés au COVID. N’oubliez pas toutefois qu’il ne faut pas réaliser tout le sujet pour décrocher une super note. Avoir traité un certain nombre de questions (dont les “classiques”) est bon signe. 

Ne vous découragez alors pas et bon courage pour la suite des épreuves!