L’analyse du sujet de Mathématiques ECT ESCP 2025 est en ligne !
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L’analyse du sujet de Mathématiques ECT ESCP 2025
Le sujet proposé était très long, et présentait des difficultés notamment dans certaines questions d’analyse et de probabilités. Il fallait faire preuve d’une véritable maîtrise du cours, et surtout faire le lien entre les différentes questions.
Exercice 1 :
Partie I :
1a) On remplace X par la matrice A.
1b) Les valeurs propres possibles de A sont les racines du polynôme annulateur, à savoir 1 et 1/3
1c) Ces vecteurs étant non nuls, ils sont vecteurs propres respectivement pour les valeurs propres 1 et 1/3
2a et b) P^(-1) = 1/6*Q
2d) On utilise 2a) avec PD=AP en multipliant A^n par A sur la gauche dans l’hérédité
2e) On calcule la matrice demandée
3a) Xn+1=A*Xn
3b) On pouvait raisonner par récurrence
3c) On réalise ici un gros calcul avec le résultat donné en 2e)
3d) Les populations d’adultes et d’enfants survivent (beaucoup de termes tendent vers 0 qd n est très grand)
4a) Une bonne clé primaire pour la table ANIMAUX serait le triplet (Enclos, Espèce, Catégorie), puisqu’il garantit l’unicité de chaque ligne dans la table
4b) SELECT DISTINCT Type
FROM ALIMENTATION;
4c) SELECT Espèce
FROM ANIMAUX
WHERE Catégorie = ‘adulte’ AND Effectif >= 6;
4d) SELECT A.Espèce, A.Effectif
FROM ANIMAUX A
JOIN ALIMENTATION AL ON A.Espèce = AL.Espèce
WHERE AL.Tarif < 15;
Partie II :
5a) Wn+1=(r+1)Wn, donc pour tout entier naturel n, Wn = W0*(r+1)^n
5b) Il s’agit d’un modèle de croissance à taux libre
5c) Dans les 3 cas respectifs, la limite est soit 0, réelle (suite constante) ou +infini
6a) On obtient x=0 ou x=beta, puis on dérive pour le tableau de signes
6b) i) On fait de même avec la fonction g
ii) On peut construire ces inégalités en partant de alpha et beta
6c) i) On applique la fonction g dans l’hérédité
ii) Après avoir obtenu le signe, on cherche celui de Wn+1-Wn, c’est-à-dire f(Wn)
iii) Théorème de la limite monotone
iv) On pouvait faire un raisonnement par l’absurde
v) La suite converge, en particulier vers la solution de l’équation g(x)=x
6d) Question technique, utiliser les réponses de 6b), puis conclure comme 6c)
6e) Idem, cette question pouvait poser problème et nécessitait de la précision dans les justifications d’inégalités
Exercice 2 :
1a) position[j+1] = position[j+1] +1
Else : position[j+1] = position[j+1] – 1
2) X1 est la VAR certaine égale à 1
3) On a : P(X2=0) = 2/n et P(X2=2) = (n-2)/n, puis on calcule l’espérance qui vaut 2*(n-2)/n
4) Rien ne permet de dépasser n car n est le plus grand tirage possible dans l’urne des billes.
5) Pour être en position 0 au temps k+1, il faut être en position 1 au temps k (on n’avance que de +/- 1), et tirer le chiffre 1, soit 1/n comme probabilité. Idem pour la position n au temps k+1.
6a) Cette probabilité vaut (n-l+1)/l, car de l à n, il y a n-l+1 cas
6b) Cette probabilité vaut (l+1)/n
6c) On utilise l’incompatibilité des événements : à l’instant k, soit le pion est en l-1, soit en l+1 et il avance ou recule en fonction du tirage.
7) On somme pour l allant de 1 à n-1 et on change les indices
8) Pour la fin de l’exercice, il fallait reconnaître une suite arithmético-géométrique. On résout son équation caractéristique, puis on pose une nouvelle suite qui est géométrique et que l’on peut facilement exprimer en fonction de n et de son premier terme. Enfin, on peut obtenir une expression pour E(Xk) et obtenir sa limite.
Exercice 3 :
Partie 1 :
1) Question de cours : positivité de la fonction sur R et intégrale sur R valant 1.
2a) On vérifie les 3 étapes, notamment celles aux bornes du segment
2b) On pouvait raisonner par récurrence, en faisant bien attention à la variable t qui devait apparaître pour permettre les opérations sur les fonctions.
2c) On utilise la question 1) et on a c_n = 1/a_n
2d) Il faut pour cela vérifier si leurs densités sont égales presque partout, ce qui est bien le cas.
3) On intègre la densité fn sur ]-infini ; x] en faisant bien la disjonction de cas
4) Question très fastidieuse, avec plusieurs calculs d’intégrales. Soit on passait directement par la définition de la variance, soit on pouvait appliquer Koenig-Huygens.
Partie II :
5) c_0 = 1/(e-1)
6) Calcul d’intégrale par intégration par parties. Attentions à bien rappeler les hypothèses : fonctions de classe C1 sur l’intervalle. On trouve alors 1.
7) De même, on réalise ici une nouvelle intégration par parties.
8) Récurrence : dans l’hérédité, factoriser par exp(t) pour faire apparaître l’égalité souhaitée
9) Question facile qu’il fallait bien repérer lors de la lecture du sujet, en réemployant la question précédente.
10) On utilise entre autres la croissance et la positivité de l’intégrale, en partant de l’expression trouvée en 7.
