Voici une analyse du sujet détaillée de l’épreuve de mathématiques approfondies EDHEC 2025, réalisée par un de nos rédacteurs. Cette épreuve déterminante est proposée aux étudiants de prépa ECG.
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L’analyse du sujet de mathématiques approfondies EDHEC 2025
Sujet classique de l’EDHEC avec 3 exercices et un problème. Le dernier problème assez long fait que le sujet n’est pas finissable en 4 heures. Pas d’inquiétude si vous n’avez pas fini le sujet !
Exercice 1
Sur la fonction fn(x)=(x−n)ln(x)−xln(x−n)
g(x) = ln(x)/x
1) a) g’(x) = (1-ln(x))/x2
g’(x) > 0 lorsque 1-ln(x) > 0 soit x < e
g’(x) < 0 lorsque 1-ln(x) < 0 soit x > e
Donc g croissante sur ]0,e[ et décroissante sur ]e, + ∞[
1) b) Pour tout k ≥ 4, ln(k)/k ≤ ln(2)/2 par la décroissance de la fonction g sur ]e, + ∞[ donc la suite (ln(k)/k) est décroissante
2) a) fn est dérivable sur ]n, +∞[ car elle est composée de fonctions dérivables sur cet intervalle. De plus ln(x-n) est bien définie sur ]n, +∞[.
f’n(x) = ln (x/(x-n)) + (x-n)/x – x/(x-n)
2) b) on définit h(t) = ln(t) – t + 1 qui est décroissante et h(1) = 0. Donc pour tout réel t>0, ln(t) ≤ t-1
Ainsi, ln (x/(x-n)) ≤ x/(x-n) -1, on a donc f’n(x) ≤ x/(x-n) -1 + (x-n)/x – x/(x-n) = -1 + (x-n)/x = -n/x
Puisque x>n, -n/x < 0. Donc f’n(x) < 0 pour tout x>n, f’n est strictement décroissante sur ]n, +∞[
2) c) Puisque fn est strictement décroissante sur ]n,+∞[, elle est strictement décroissante sur [n+1, n+2].
fn(n+1) = ln(n+1) > 0 et fn(n+2) = 2ln(n+2) – (n+2)ln(2) < 0
Ainsi, par le théorème de la bijection, il existe une unique solution xn dans [n+1, n+2] telle que fn(xn) = 0
3) Comme fn(xn) = 0 dans [n+1, n+2], (xn-n)ln(xn) = xnln(xn-n)
On cherche à montrer que lim xn/n = 1 en +∞
On divise l’équation par nln(n) et comme xn ∈ [n+1, n+2], il existe u ∈ [1, 2]tel que xn = n + u
En remplacement dans l’équation, on a alors (xn-n)/ n = u/n et xn/n = 1 + (u/n)
Or u/n tend vers 0 en +∞
Donc lim ln(n+u)/ln(n) = 0 et lim ln(u)/ln(n) = 0
Donc, en revenant à l’équation, on a bien que lim xn/n = 1
4) a) développement limité de ln
b) Comme lim xn/n = 1, lim ln(xn)/xn = 0
Ainsi, lim ln(xn – n) = 0 à partir de 4)a) alors lim (xn-n) = 1
5) a) lim un = 0 en + ∞ donc par équivalent classique on a la première équivalence donnée et ln (1+n+un) = ln (xn) donc équivalent à ln(n)
b) On repart du développement limité de la question 4)a), et de l’équivalent de la question 5)a)
6) La série des un diverge car ln(n)/n est équivalent à 1/n, or la série harmonique diverge
Un2 est équivalent à ln(n)2/n2 qui est une série convergente car la série des 1/n2 converge selon Riemann
Exercice 2
1) a) il faut montrer que pour tout x ∈ F, llp(x)ll = llxll
b) llxll2 = ll x – p(x) + p(x)ll2 = llx-p(x)ll2 + llp(x)ll2 selon le théorème de Pythagore dans un espace euclidien
c) F sous espce vectoriel et p un projecteur alors pour tout x ∈ F, p(x) = x donc llp(x)ll = llxll et pour tout x ∈ E, llp(x)ll ≤ llxll par définition de la projection orthogonal
2) a) il faut montrer que tout élément de F1∩F2 appartient à F3, ce qui est donné par l’équation précédente
b) llxll = ll p3(x)ll = llp1(p2(x))ll ≤ ll p2(x) ll d’après la question 1)c)
or llxll ≥ llp2(x)ll donc llxll = llp(x)ll donc x ∈ F2
De même il appartient à F1
c) Ces sous-espaces vectoriels sont égaux
d) Symétrie du projecteur orthogonal
e) égalité car projection dans le même espace
3) a) Montrer que p2 = p
b) p1 et p2 sont des projecteurs orthogonaux donc symétriques et la composition de deux endomorphismes symétriques qui commutent est symétrique
Donc p est un endomorphisme symétrique de E
c) p est un projecteur et un endomorphisme symétrique, c’est donc un projecteur orthogonal. Il projette sur son image et Im(p) = Im(p1(p2)) c F1∩F2.
Donc p projette sur F1∩F2
Exercice 3
1) Positivité de la fonction et si on calcule l’intégrale de -∞ à 0 avec le changement de variable u = x2, on trouve bien qu’elle est égale à 1. Donc f est une densité
2) F(x) est l’intégrale de -∞ à x de f(t). On fait une disjonction de cas pour x ≤ 0 et x > 0, où on aura besoin de la relation de Chasles pour calculer l’intégrale.
On trouve F(x) = exp(-x2) si x ≤ 0 et F(x) = 1 si x > 0
3) La densité d’une loi normale N(0,1/2) : f(x) = exp(-x2)/x^(1/2)
4) E(X) = √π/2
5) Z = X2, Pour x ≥ 0, G(x) = P(Z≤x) = P (-√x ≤ X ≤ √x) = F(√x) – F(-√x)
Pour x < 0, G(x) = 0
G(x) = 1 – exp(-x) si x ≥ 0 et 1 sinon. Donc Z suit une loi exponentielle de paramètre 1
6) Calcul de E(X2) avec changement de variable et E(X) trouvé à la question 4), on peut donc calculer la variance.
7) Méthode d’inversion pour Python
8) h positive et calcul de l’intégrale par primitives classiques, on montre qu’elle est égale à 1
9) C’est la fonction de répartition, avec relation de Chasles
H(x) = 0 si x≤0 ; H(x) = 2x – x2 si 0≤x≤1 et H(x) = 1 si x>1
10) calcul de la fonction de répartition de Tn :
Fn(x) = P (Tn≤x) = P(√n(Mn-1)≤x) = P(Mn≤1+x/√n) = P([Y1≤1+x/√n] ∩…∩[Yn≤1+x/√n] = [H(1+x/√n)]n
11) lim = exp(y) mais bien rappeler que le ln existe à partir d’un certain N tel que 1+y/n > 1 n->+∞
12) On a avec la question 11, Fn(x) -> 0 pour x≤0 et Fn(x) -> 1 pour x>0. Donc lim Fn(x) = F(x). Donc Tn converge en loi vers X
Problème
Partie 1
1) n parmi 2n= (2n)!/n!n! donc Bn = 1/4n*(2n)!/n!n! = 2n*(2n-1)*…*(n+1)/n !4n soit en réararngeant les termes nous donne l’expression voulue de Bn
C’est l’écriture d’un produit avec python : P = P*((k+n)/4*k) avec P au début qui vaut 1
Partie 2
2) à 4) Intégrale de Wallis ; W0 = π/2 et W1 = 1, 4) intégration par parties
5) on utilise la relation trouvée à la question 4) pour montrer cela par récurrence
6) Toujours par récurrence grâce à la question 4)
7) C’est une conséquence des questions 5) et 6) pour la première inégalité
Pour la deuxième inégalité il faut réarranger les termes pour chacune des inégalités : 1≤π/2 Bn2(2n+1) qui nous donne l’inégalité de gauche et π/2Bn22n≥1 pour l’inégalité de droite
8)Bn équivalent à 1/√(πn)
Partie 3
9) a) Yk loi de Bernoullli de paramètre 1/2 ; E(Yk) = 1/2 V(Yk) = 1/4
b) Tn est une loi binomiale de paramètre n et 1/2
c) Sn prend les valeurs 2j – n avec j dans [0, n]
P(Sn = 2j-n) = P (Tn = j) donc Sn suit une loi binomiale de paramètre n et 1/2
10) a) C’est l’expression mathématique de la définition de Rn
b) P(S2k = 0) = Bk selon sa première expression dans le sujet en passant par la loi de Sk, binomiale de paramètre n et 1/2
c) Rn est la somme des indicatrice Ak entre 1 et
d) l’espérance de Rn est l’espérance de la somme des indicatrices qui sont des loi de Bernoulli de probabilité P(Ak). On a donc la somme des P(Ak) entre 1 et n. Alors P(Ak) = P(S2k = 0) = Bk d’où l’expression
11) Comparaison série-intégrale
12) par sommation, on obtient des sommes télescopiques et on sait que Bn est équivalent à 1/√nπ
Partie 4
13) a) Bn équivalent à 1/√nπ alors si on multiplie Bn par 4n alors on trouve bien l’équivalent demandé en passant à l’inverse
b) la série converge par comparaison à une série de Riemann
14) f continue sur [0,4[, f croissante par croissance de la fonction xn
15) a) A partir du précédent équivalent
b) Série géométrique et équivalent précédents. On détermine les limites à partir des encadrements
