Découvrez ci-dessous notre analyse du sujet de mathématiques approfondies du concours ECRICOME 2026. Elle vous permettra de mieux comprendre le sujet, les exercices et les concepts.
Cette analyse constitue un excellent outil de révision pour vos concours. Le kit de réussite en mathématiques vous sera également d’une grande aide !
L’analyse du sujet de maths approfondies ECRICOME 2026
Le sujet est composé de 2 exercices et d’un problème plus long.
Le premier exercice est de l’analyse, avec du calcul d’intégrales.
Le deuxième exercice est de l’algèbre linéaire et bilinéaire : une partie de diagonalisation, et une autre avec des polynômes.
Le problème est un long exercice de probabilités. La première partie correspond à l’étude de variables aléatoires infinies. La deuxième partie approfondit les notions développés dans la première, en faisant appel à quelques questions d’analyse. Quant à la troisième partie, c’est une étude de variables aléatoires à densité.
Exercice 1
1) Il suffit d’utiliser le théorème de comparaison pour les intégrales à fonctions positives. a) équivalent usuel, b) négligeabilité
2a) en 0, on prolonge par continuité. En l’infini, on peut à nouveau avoir recours à un critère de négligeabilité. En montrant que notre fonction est négligeable au voisinage de +∞ devant 1/t**2 par exemple.
2b) Quand a devient négatif, cela se complique. On propose une disjonction de cas :
- Si a=0 : en plus l’infini, notre fonction est équivalente à -1/t. Cette intégrale est évidemment divergente
- Si a<0 : supposons par l’absurde que l’intégrale converge. Alors, d’après le cours, la fonction intégrée converge vers 0. Or quand a est négatif, e**(-at)/t tend vers +∞, et toute la fonction intégrée tend vers +∞. Ce qui est absurde. Donc l’intégrale diverge.
3a) On utilise l’indication donnée par l’exercice. Ensuite, on pose un changement de variable u=at dans l’intégrale avec e**(-at). Ensuite, nous obtenons les deux mêmes fonctions intégrées à gauche et à droite. L’intégrale de gauche (celle du changement de variable) va de 0 à ax. L’intégrale de droite va de 0 à x. Et on a :
3b) En faisant tendre x vers +∞, on trouve que G(a)=ln(a)
4) On remarque que l’intégrale est généralisée en 0 et 1. Pour que le changement de variable soit licite, il faut justifier que la fonction u=e**(-t) soit bijective de I sur J (où I et J sont à déterminer).
Pour la convergence, on utilise un critère d’équivalence en 1, et en 0 on utilise un prolongement par continuité.
Avec le changement de variable u=e**(-t), on retombe sur l’intégrale précédente pour a=2. Donc l’intégrale vaut ln(2).
5a) Il s’agit du théorème des sommes de Riemann avec b=1, a=0.
5b)
import numpy as np
def f(u):
if u==0 or u==1:
return u
else:
return (u-1)/np.log(u)
def Rect(n):
X=np.zeros(n)
for k in range(0,n):
X[k]=f(k/n)
return (1/n)*(np.sum(X))
5c) Cette fonction utilise la méthode de Monte-Carlo pour approcher la valeur de l’intégrale.
6) On a trouvé que l’intégrale étudiée vaut ln(2) en question 4). On sait également que ln(2)≈0,693. On remarque que la courbe en pointillés s’approche très vite 0,693, et reste stable bien avant n=100. Ce n’est pas le cas la courbe en trait plein qui oscille entre 0,693 même après n=800.
La méthode de la question 5b) semble donner une meilleure approximation.
Exercice 2
1. a) Application du cours : A est triangulaire supérieure donc ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux.
b) De même, question de cours : A est une matrice carrée 3×3 et admet 3 valeurs propres distinctes donc A est diagonalisable.
c) Le calcul de D est immédiat. En ce qui concerne V, le théorème de la question précédente nous dit aussi que les sous-espaces propres de A sont tous de dimension 1. À partir de là, il ne reste plus qu’à déterminer ses 3 vecteurs propres pour obtenir les colonnes de V (attention à respecter l’ordre croissant des valeurs propres).
2) a) Question calculatoire
b) En appliquant les propriétés sur le degré d’un polynôme, on montre que ϕ(P) est de degré d. Puis en développant le calcul de ϕ(P) au niveau du terme x^d, on montre que le coefficient dominant vaut d(d+4).
3) a) Application du cours : on commence par démontrer la linéarité de ϕ puis en appliquant les propriétés sur le degré d’un polynôme, on montre que ϕ(P) est bien de degré inférieur ou égal à n
b) On reprend les résultats de la question 2)a) et on en déduit les coefficients de la matrice
c) Comme pour la question 3)a), on fait de nouveau appel aux propriétés sur le degré d’un polynôme
d) Les coefficients de la matrice de Ψ découlent du calcul de ϕ(P0), ϕ(P1) et ϕ(Pk) pour k=2 à la question 2)a)
4)a) La matrice de ϕ est triangulaire donc ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux, d’où le spectre demandé.
b) En étudiant la fonction indiquée par l’énoncé, on montre qu’elle est strictement croissante pour x positif et donc que les k(k+4) sont bien deux à deux distincts (car k est un entier naturel)
c) Similaire à 1)b) : ϕ est un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension n+1 et admet n+1 valeurs propres distinctes donc ϕ est diagonalisable
d) L’existence du polynôme découle de la question précédente (car les sous-espaces propres sont tous de dimension 1). En supposant que ce polynôme que l’on note T soit de coefficient dominant a, on construit Gk = T/a puis on montre l’unicité en raisonnant par l’absurde.
e) On remarque que G0=1 et G1=x conviennent (on pouvait se fier à l’information sur le degré de Gk à la question 4)g).
f) On calcule ϕ(x^2 – 1/6)
g) Gk est unitaire donc d’après 2)b), le coefficient dominant ϕ(Gk) est d(d+4) avec d le degré de Gk. Comme Gk est vecteur propre, on a ϕ(Gk) = k(k+4)Gk et on en déduit par identification que Gk est de degré k.
5) a) Application de la formule de dérivation d’une composée
b) On calcule ϕ(Q) puis on remplace par les expressions en fonction de P. En comparant avec ϕ(P)(-x), on trouve le résultat.
c) On utilise le résultat de la question précédente et, en comparant les coefficients dominants, on montre que la parité de Gk dépend de celle de k.
6) Question de cours classique : on démontre que c’est une forme bilinéaire symétrie définie positive
7) a) Application du changement de variable, en gardant en tête la formule cos(x)^2 + sin(x)^2 = 1
b) Il faut partir de la formule cos(x)^2 = (1 + cos(2x))/2
c) En appliquant le produit scalaire à G0, on retombe sur l’intégrale de la question 7)a). Il ne reste plus qu’à la calculer en réutilisant l’égalité démontrée à la question 7)b).
8) a) Dérivation d’un produit
b) Intégration par parties, attention à ne pas oublier de justifier la continuité des fonctions sur lesquelles on travaille
c) Par symétrie des rôles de P’ et Q’ et symétrie du produit scalaire, on en déduit que ϕ est un endomorphisme symétrique
d) Les Gk sont des vecteurs propres de ϕ, endomorphisme symétrique, associés à des valeurs propres deux à deux distinctes. Donc d’après le cours, ils sont deux à deux orthogonaux. De plus, la famille a le bon cardinal donc c’est une base orthogonale de R_k[X].
e) On peut le démontrer par récurrence en écrivant les éléments de R_(k-1)[X] comme combinaison linéaire des G0, G1,…, G(k-1) après avoir montré qu’ils en forment une base. On rappellera notamment pour ce faire que toute sous famille-libre d’une famille libre est libre et on montrera que la famille a le bon cardinal.
9) a) Immédiat par commutativité du produit pour les polynômes
b) On utilise l’expression des coordonnées de P dans une base et l’orthogonalité de la base formée par les Gk pour obtenir l’égalité demandée.
c) L’existence découle de l’écriture de xGk dans la base (G0,…,Gk+1). On montre que les coefficients devant G0,…,G(k-2) sont nuls avec l’orthogonalité de la base. L’unicité découle de la liberté de la famille (G(k-1), Gk, G(k+1)).
d) On obtient alpha par identification des coefficients dominants, en utilisant le fait que Gk est unitaire. Beta = 0 en comparant les parités des Gk.
e) Le calcul découle de la question précédente en réutilisant les expressions de G2 et G1 (cf. 4)e) et 4)f).
10) a) La multiplication de P par x décale tous les degrés de 1
for k in range(n+1):
Q[k]=P[k-1]
10b)
Problème
Partie I
1a) Il s’agit de la formule de somme d’une suite géométrique.
1b) En développant l’expression, et par des changements d’indice si besoin, on obtient en réorganisant les termes :
1c) Y correspond au rang d’apparition du premier lancer donnant une valeur non nulle. Autrement dit, Y compte le nombre d’échecs avant le premier succès. Le dé a d+1 faces, et il y a fatalement d faces non nuls.
Ce succès a donc une probabilité qui vaut d/(d+1).
Donc Y suit une loi géométrique de paramètre p=d/d+1.
D’après le cours, son espérance vaut 1/p, et sa variance (1-p)/p**2.
d) [Y>r] correspond à l’événements que tous les lancers entre 1 et r ont donné 0 (intersections d’évènements indépendants). La probabilité d’avoir 0 lors d’un lancer vaut 1/(d+1). D’où par indépendance des lancers le résultat.
2a) Si [Y>r] est réalisé, alors les r premiers lancers ont donné 0. Donc la variable aléatoire X vaut r. On a en effet :
E(X|[Y>r])=E(r|[Y>r])=r
2b) On remarque X=i+(X-i). Par linéarité de l’intégrale on trouve le résultat demandé en remarquant que X-i sachant [Y=i] suit la même loi que X.
On peut également passer par la formule de l’espérance conditionnelle mais c’est plus laborieux.
3a) On utilise la formule de l’espérance totale en s’aidant des résultats 2a) et 2b).
3b) Encore très calculatoire, il faut utiliser le résultat précédent et la formule 1b).
Partie II
4) C’est une loi uniforme discrète sur {0,1,..,d}. Un calcul classique d’espérance nous donne qu’elle vaut d/2
5a) La plus petite valeur possible est 0, la plus grande est 2d. Donc le support de S2 vaut {0,1,…,2d}
5b) On utilise la formule des probabilités totales avec le SCE [U1=i]. On rappelle que U1 et U2 sont indépendants.
5c) On peut simplifier la formule obtenue en 5b) en remplaçant P(U1=i). Ensuite, on procède à une disjonction de cas.
- l’indice de la somme s’arrête nécessairement à i=k.
- l’indice de la somme commence nécessairement à i=k-d.
5d) On passe par le complémentaire de [S2≥d]. Avec la formule 5c) pour k compris entre 0 et d, on trouve le résultat.
6a)
def Atteinte(d):
S = 0
n = 0
while S < d:
S = S + rd.randint(0, d + 1)
n = n + 1
return n
6b) Ici il suffit de compléter par E=E+Atteinte(k). Il s’agit de la loi faible des grands nombres qui tente d’être simulé.
6c) On trace EspT, et on voit qu’elle se rapproche de e quand d augmente. La loi faible des grands nombres garantit que, pour chaque valeur de , la moyenne calculée par la fonction EspT est une bonne approximation de l’espérance
Donc on peut conjecturer que E(T)=e quand d tend vers plus l’infini.
7a) On utilise la relation :
7b) D’après l’hypothèse de la question 7, la série P(V
7c) On doit remarquer que [V>=N+1] est l’union de N+1 à plus l’infini des [V=k]. On utilise la sigma-additivité et le fait que :
0 < NP(V>=N+1) < somme de N+1 à plus l’infini de kP(V=k).
Comme la série des kP(V=k) converge (l’espérance existe), cela tend vers 0.
Par encadrement, NP(V>=N+1) tend vers 0.
7d) C’est une conséquence des questions 7a, b, c.
8a) On conjecture et on démontre notre conjecture par récurrence. On obtient que la dérivée kième de h vaut [(r+k)!]/(1-t)**(r+k+1)
8b) Il suffit de partir par 0 ≤ t ≤ x. Par succession d’inégalités, et en intégrant on trouve le résultat demandé.
8c) On applique la formule à entre et . Comme le reste (l’intégrale) tend vers (grâce au 8b, car x≤1/2), la série de Taylor (la somme) converge vers
8d) On utilise la formule admise en bas de page 6., ainsi que la formule 7d). Enfin, grâce à la question 8c), on trouve finalement le résultat.
8e) Il suffit d’écrire (d+1/d)**d=exp(d*log(1+1/d)). Avec un équivalent usuel, on trouve que E(T) tend vers e au voisinage de plus l’infini.
Partie III
9a) S1 suit une loi uniforme à densité sur [0,d]. D’après le cours, on a sa densité, son espérance et sa variance.
9b) . Comme , la somme est forcément comprise entre et . En dehors de cet intervalle, la densité est nulle.
9c) On utilise un produit de convolution sans oublier les hypothèses.
9d) Si x>2d ou x<0, la densité vaut 0.
Si x appartient à [0,d], la densité vaut x/d^2
Si x appartient à [d,2d], la densité vaut 2d-x/d^2
10a) Comme et que les deux sont positives, leur somme ne peut évidemment pas être négative.
10b) On applique à nouveau le produit de convolution entre et
