Épreuve incontournable du concours ECRICOME, les mathématiques appliquées demandent rigueur et méthode. L’analyse du sujet de mathématiques appliquées ECRICOME 2026 vous permet d’approfondir votre compréhension et de comprendre les attentes du jury.
Les analyses du sujet en maths appli au fil des années :
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L’analyse du sujet de mathématiques appliquées ECRICOME 2026
Exercice 1
1. Comme la première année le choix est équiprobable parmi les n compagnies X suit une loi uniforme sur l’ensemble 1,…n. Cf. cours pour l’espérance et la variance.
2. Pour le calcul de la loi conjointe du couple (X,Y), il suffit d’appliquer la définition d’une probabilité conditionnelle et d’utiliser le fait que X est uniforme.
3. Pour cette question on utilise le fait que la somme de toutes les probabilités conjointes vaut 1. D’après la question précédente, seuls les termes avec k<=j sont non nuls. On en déduit que la somme est égale à n.
4. Ici on utilise la formule des probabilités totales sur le système complet d’événements {X=j} où j appartient à {1,…n}.
5. a) En changeant l’ordre de sommation, on fait apparaitre une somme classique (somme des k), et on aboutit au résultat demandé.
5. b) On vérifie d’abord l’existence de l’espérance (var finie), puis on la calcule en utilisant le résultat de la question 4 et de la question 5a.
6. a) XY prend ses valeurs dans un ensemble fini donc admet une espérance. Pour le calcul on utilise le théorème de transfert, et on utilise le résultat de la loi conjointe obtenu en 2.
6.b) On part de la question 6a., on développe la somme et on utilise les formules connues de la somme des j et éventuellement somme des j carré.
6.c) On a obtenu E(X) en 1., E(Y) en 5. et E(XY) en 6.b). On utilise Cov(X,Y) = E(XY)-E(X)E(Y).
7. Attention, covariance nulle n’implique pas indépendance. Ici contre-exemple avec X=1, Y=2.
8.a) import random
def simulXY(n):
x = random.randint(1, n)
y = random.randint(1, x)
return (x, y)
8.b) La fonction Myst(Tab) renvoie le coefficient de corrélation linéaire empirique entre les deux séries statistiques contenues dans les deux lignes de Tab.
8.c) La droite de régression affine de Y en X passe nécessairement par le point moyen. Son coeff directeur vaut Cov(X,Y)/Var(X) et il est donc positif.
Ainsi, le tracé 4 est exclu car sa pente est négative, et le tracé 3 est exclu car il ne passe pas par le point moyen. Le tracé 1 n’est pas affine (changement de pente). Donc tracé 2.
9.a) {X=Y}
9.b) An={X=Y} puis on somme les probas conjointes sur la diagonale en utilisant la loi de (X,Y) (2.).
9.c) On utilise la décroissance de la fonction 1/x sur [j,j+1] pour encadrer la fonction puis on intègre entre j et j+1.
9.d) En partant de 9c. on obtient un encadrement de la somme des 1/j pa des sommes télescopiques de logarithmes.
9.e) Les deux bornes sont équivalentes à ln(n)/n.
10.a)
SELECT COUNT(*)
FROM adherent
WHERE id_2025 = id_2026;
10.b) Cette requête affiche, pour chaque assuré, son identifiant et le nom de la compagnie d’assurances à laquelle il a souscrit en 2026.
10.c) Pour obtenir, pour chaque compagnie d’assurances, la moyenne des notes qui lui ont été attribuées, il faut regrouper les avis par compagnie et calculer la moyenne de l’attribut note dans chaque groupe :
SELECT compagnie, AVG(note) AS note
FROM avis
GROUP BY compagnie;
10.d) On ajoute : ORDER BY note DESC
Exercice 2
Partie I
1. L’argument du logarithme doit être strict positif.
2. En 1- on trouve +infini. En -infini on trouve -infini.
3. On calcule la dérivée de f pour déterminer le tableau de variations.
4.a) Cours.
4.b) Cours (on identifie le DL de 4a. avec f(x)=f(0)+f'(0)x+o(x)).
On trouve y=x. Pour la position de la courbe par rapport à la tangente, on mq f(x)-x positif en utilisant le DL de 4a.
5. On utilise les informations précédentes pour tracer la courbe.
Partie II
6.a) D’après le cours, la série harmonique diverge.
6.b) On calcule Sn+1(1)-Sn(1), on trouve que Sn(1) strict. croissante.
6.c) Comme la série harmonique diverge et que ses termes sont positifs, ses sommes partielles croissent sans borne. I.e. la limite est +infini.
7. On compare x puissance k divisé par k avec x puissance k. La somme des x puissance k converge donc on conclut avec le théorème de comparaison pour les séries à termes positifs.
8.a) On mq S2n(-1) décroissante, S2n+1(-1) croissante, et que leur différence tend vers 0.
b) Deux suites adjacentes convergent vers une même limite. Donc S2n(-1) et S2n+1(-1) cv vers une même limite l.
Comme la suite Sn(-1) est formée de ces deux sous-suites extraites ayant la même limite, elle converge aussi vers l.
c) On utilise le fait que -ln(2) est comprise entre les deux suites (car elles sont adjacentes) et on prend les valeurs absolues.
d) Distinguer le cas n pair et n impair, et utiliser 8c.
9.a) x puissance k sur k tend vers +infini i.e. le terme général de la série ne tend pas vers 0 donc la série diverge.
b) La limite est +infini car la série est une série à termes positifs divergente.
Partie III
10. a) Calcul de primitives connues (cours).
10. b) On décompose a-t=(a-1) +(1-t) et on utilise 10.a).
11. On calcule la différence Rn(a)-Rn+1(a).
12. On procède par récurrence. Dans l’hérédité on utilise 11.
13.
b) On écrit Rn(a), on utilise 13.a) et 10a).
c) On utilise le résultat démontré en 12. et 13.b) et on fait tendre n vers l’infini.
14.a) On applique 12. et 13b) avec a=1/2.
b)
def Val(eps):
n = 1
while 1/(2**n) > eps:
n = n + 1
s = 0
for k in range(1, n+1):
s = s + 1/(k*(2**k))
return s
Exercice 3
Partie I
1. On dérive s en utilisant les 2 équations du système, on trouve s’=0.
2. s’=0 => s constante. Il suffit de calculer sa valeur en 0 : s(0)=2. Donc pour tout t, x(t)+y(t)=2.
3. D’après 2. et la première équation, x(t)=2t+C or x(0)=1 d’où x(t)=2t+1. On en déduit y(t) avec la question 2.
Partie II
4. Le déterminant de P est non nul, on utilise la formule de l’inverse d’une matrice 2×2.
5. On résoud Ax=lambda.x. On trouve lambda=0.
6. Supposons A diagonalisable. Alors A=PDP^-1 avec D=diag(0,0) d’où A nulle. Absurde ! Donc A n’est pas diagonalisable.
7. On calcule le produit P^-1 AP.
8. Un état d’équilibre est un couple (x,y) tel que x’=0, y’=0. On résoud le système.
9. On écrit le système sous forme matricielle X’=AX puis on effectue le changement de variable Y=P^-1 X puis on dérive (Y’=P^-1 X’) et on remplace. On utlise enfin 7.
10. On résoud le système, on trouve v constante, u affine.
11. On part des solutions générales de Y’=JY. On revient ensuite à la variable initiale avec le changement X=PY ce qui permet d’exprimer x(t) et y(t).
Partie III
12.
import numpy as np
def Nil(M):
n = len(M)
P = np.eye(n)
for k in range(1, n + 1):
P = np.dot(P, M)
if np.array_equal(P, np.zeros((n, n))):
return k
return 0
13. On a Nu=lambda.u. En appliqant N p-1 fois, on obtient N^p.u=lambda^p.u. Or N^p =0 et u non nul donc lambda=0.
14. Si N était diagonalisable, comme sa seule valeur propre est 0, elle serait semblable à une matrice diagonale dont tous les coefficients diagonaux valent 0, donc à la matrice nulle. Ceci contredit l’hypothèse “N nilpotente non nulle”.
15. On dérive terme à terme pour obtenir le résultat.
16. On vérifie que X est bien solution du système en utiliant 15. Il ne faut pas oublier de vérifier la condition initiale. Le système différentiel linéaire à coefficients constants admet une solution pour toute condition initiale donc X(t) est unique.
17.
import numpy as np
def B(N,t):
if Nil(N) == 0:
return(“N n’est pas nilpotente”)
else:
T = np.eye(len(N))
S = T
for k in range(1, Nil(N)):
T = t/k * np.dot(T, N)
S = S + T
return S
