Mathématiques

Tout savoir sur l’inégalité de Bienaymé-Tchebytchev

L’inégalité de Bienyamé-Tchebychev est très utile en prépa ECG, et plus précisément dans les exercices de probabilités. En effet, cette inégalité est très utilisée dans le domaine de l’estimation et on la retrouve souvent dans des exercices qui touchent au TCL (Théorème Central Limite) et à la loi faible des grands nombres. Par exemple, rien que pour la session 2026 des concours BCE, l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev est tombée à l’EDHEC et à l’emLyon. Même si ce n’était pas le cas en 2026, cette inégalité peut apparaitre en maths parisiennes. Elle est simple à énoncer, mais souvent mal comprise dans sa portée réelle : ce n’est pas un outil de calcul exact, c’est un outil de majoration, qui est par ailleurs souvent utilisé pour construire des intervalles de confiance. Avant Bienaymé-Tchebychev, il faut maîtriser l’inégalité de Markov, dont elle découle directement.

Inégalité de Markov :

Soit $X$ une variable aléatoire réelle positive (ou nulle) admettant une espérance. Alors pour tout $a > 0$ :

$\P(X \geq a)\leq\frac{\E(X)}{a}$

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev :

Soit $X$ une variable aléatoire admettant une espérance $E (X) = m$ et un moment d'ordre 2. Alors pour tout $ε > 0$ :

$\P(\left| X-m \right|\geq\varepsilon)\leq\frac{\V(X)}{{\varepsilon}^{2}}$

La démonstration de cette inégalité se fait facilement grâce à l'inégalité de Markov :

$\P(\left|X-m\right|\geq\varepsilon)= \P({(X-m)}^{2}\geq{\varepsilon}^{2})$ par stricte croissance de la fonction $x\to{x}^{2}$ sur ${\R}_{+}$

donc $\P({(X-m)}^{2}\geq{\varepsilon}^{2})\leq\frac{\E({(X-m)}^{2})}{{\varepsilon}^{2}}$ d'après l'inégalité de Markov car ${(X-m)}^{2}$ admet un moment d'ordre 2 et ${\varepsilon}^{2}>0$

donc $\P({(X-m)}^{2}\geq{\varepsilon}^{2})\leq\frac{\V(X)}{{\varepsilon}^{2}}$ car $\V(X)=\E({(X-m)}^{2})$ (où $m=\E(X)$ )

ainsi, comme $\P(\left|X-m\right|\geq\varepsilon)= \P({(X-m)}^{2}\geq{\varepsilon}^{2})$ , on a bien :

$\P(\left| X-m \right|\geq\varepsilon)\leq\frac{\V(X)}{{\varepsilon}^{2}}$

Maintenant que l'on connait l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et que nous l'avons démontré, on va pouvoir s'intéresser des à des exemples précis à travers des exemples simples et des exemples tirés d'annales.

Lire plus : Les erreurs fréquentes à éviter en maths – Probabilités

Exemples d'utilisation de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev

1) Exemple de cours

Soient $\lambda\in]0,1[$ , $n\in {\N}^{*}$ et $\varepsilon>0$ . On prend des variables aléatoires mutuellement indépendantes ${Z}_{1},...,{Z}_{n}$ suivant toutes la loi $\mathcal{B}(\lambda)$

Montrer que $\P(\left|\frac{{Z}_{1}+...+{Z}_{n}}{n}-\lambda\right|\geq\varepsilon)\leq\frac{\lambda(1-\lambda)}{n{\varepsilon}^{2}}$

Tout d'abord, on pose $Z=\frac{{Z}_{1}+...+{Z}_{n}}{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}{Z}_{k}$

Ainsi, comme tous les ${Z}_{1},...,{Z}_{n}$ admettent une espérance, $$Z$$ en admet une aussi et par linéarité on a : $\E(Z)=\E(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}{Z}_{k})=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\E({Z}_{k})=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\lambda=\frac{\lambda}{n}\sum_{k=1}^{n}1=n\frac{\lambda}{n}=\lambda$

De même, $$Z$$ admet une variance, donc par indépendance des ${Z}_{1},...,{Z}_{n}$ , on a : $\V(Z)=\V(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}{Z}_{k})=\frac{1}{{n}^{2}}\sum_{k=1}^{n}\V({Z}_{k})=\frac{1}{{n}^{2}}\sum_{k=1}^{n}\lambda(1-\lambda)$

En simplifiant on obtient : $\V(Z)=\frac{\lambda(1-\lambda)}{n}$

Z admet donc un moment d'ordre 2 et d'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebytchev on a :

$\P(\left|Z-\lambda\right|\geq\varepsilon)\leq\frac{\lambda(1-\lambda)}{n{\varepsilon}^{2}}$

et comme $Z=\frac{{Z}_{1}+...+{Z}_{n}}{n}$ , on a :

$\P(\left|\frac{{Z}_{1}+...+{Z}_{n}}{n}-\lambda\right|\geq\varepsilon)\leq\frac{\lambda(1-\lambda)}{n{\varepsilon}^{2}}$

Bonus :

Il peut parfois (voire souvent) vous être demandé, à la suite de cette question, de montrer que :

$\P(\left|\frac{{Z}_{1}+...+{Z}_{n}}{n}-\lambda\right|\geq\varepsilon)\leq\frac{1}{4n{\varepsilon}^{2}}$

Il s'agit d'une inégalité classique à connaître et très utile dans ce genre de situation. En effet, pour prouver cette inégalité il nous suffit de montrer que $\frac{\lambda(1-\lambda)}{n{\varepsilon}^{2}}\leq\frac{1}{4n{\varepsilon}^{2}}$ , ce qui revient à montrer que $\lambda(1-\lambda)\leq\frac{1}{4}$ .

Il existe une méthode simple pour montrer cette inégalité : $\frac{1}{4}-\lambda(1-\lambda)={(\frac{1}{2}-\lambda)}^{2}\geq0$ (car un carré est toujours positif). On a donc :

$\lambda(1-\lambda)-\frac{1}{4}\leq0$

donc

$\lambda(1-\lambda)\leq\frac{1}{4}$

donc en multipliant par $\frac{1}{n{\varepsilon}^{2}}$ :

$\frac{\lambda(1-\lambda)}{n{\varepsilon}^{2}}\leq\frac{1}{4n{\varepsilon}^{2}}$

On a donc bien :

$\P(\left|\frac{{Z}_{1}+...+{Z}_{n}}{n}-\lambda\right|\geq\varepsilon)\leq\frac{\lambda(1-\lambda)}{n{\varepsilon}^{2}}\leq\frac{1}{4n{\varepsilon}^{2}}$

Finalement on a :

$\P(\left|\frac{{Z}_{1}+...+{Z}_{n}}{n}-\lambda\right|\geq\varepsilon)\leq\frac{1}{4n{\varepsilon}^{2}}$

2) Exercice 2 EDHEC 2026 (Maths appliquées)

Lire plus : Mathématiques Appliquées EDHEC 2026 – Sujet

Pour aller plus vite, nous admettrons les questions précédentes de l'exercice. Ainsi, ${Z}_{n}$ est une variable aléatoire admettant une espèrance et une variance telle que $\E({Z}_{n})=\theta$ et $\V({Z}_{n})=\frac{{\theta}^{2}}{n(n+2)}$

Il est ici question d'estimation, et donc d'intervalle de confiance. On cherche à estimer un paramètre $\theta$ et on sait que $\theta\in[5;7]$

6) a) Justifier que : $\forall n\geq47, \frac{{\theta}^{2}}{n+2}\leq1$

On sait que $\theta \in [5,7]$ donc $\theta^2 \le 49$ (par stricte croissance de la fonction carré sur ${\R}_{+}$ )

Soit $n \ge 47$ , alors $n+2 \ge 49 \ge \theta^2$ , donc $\frac{\theta^2}{n+2} \le 1$ (par décroissance de la focntion inverse et en multipliant par ${\theta}^{2}$

Ainsi, n étant arbitraire :

$\forall n\geq47, \frac{\theta^2}{n+2} \le 1$

6) b) Écrire l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour la variable aléatoire ${Z}_{n}$ , puis montrer que si n est supérieur ou égal à 47, on a :

$\forall \varepsilon > 0, \quad P\big(|Z_n - \theta| \le \varepsilon\big) \ge 1 - \frac{1}{n\varepsilon^2}$

On rappelle donc l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour ${Z}_{n}$ :

$\forall \varepsilon > 0, \quad P\big(|Z_n - \theta| \ge \varepsilon\big) \le \frac{\theta^2}{n(n+2)\varepsilon^2}$

Soit $\varepsilon>0$ ,

On a donc $\quad P\big(|Z_n - \theta| \ge \varepsilon\big) \le \frac{\theta^2}{n(n+2)\varepsilon^2}$

donc $1-\quad P\big(|Z_n - \theta| < \varepsilon\big) \le \frac{\theta^2}{n(n+2)\varepsilon^2}$ (passage par le complémentaire)

Or : $[\big|Z_n - \theta|< \varepsilon\big]\subset[\big|Z_n - \theta| \leq \varepsilon\big]$

donc par croissance de la probabilité, on a : $\P(\big|Z_n - \theta| < \varepsilon\big)\leq\P(\big|Z_n - \theta| \leq \varepsilon\big)$

donc $1-\P(\big|Z_n - \theta| < \varepsilon\big)\geq 1-\P(\big|Z_n - \theta| \leq \varepsilon\big)$

donc $1-\P(\big|Z_n - \theta| \leq \varepsilon\big)\leq 1-\P(\big|Z_n - \theta| < \varepsilon\big) \leq \frac{\theta^2}{n(n+2)\varepsilon^2}$

donc $1-P\big(|Z_n - \theta| \leq \varepsilon\big) \leq \frac{\theta^2}{n(n+2)\varepsilon^2}$

donc $P\big(|Z_n - \theta| \leq \varepsilon\big) \geq 1-\frac{\theta^2}{n(n+2)\varepsilon^2}$

Or, d'après la 6) a) : $\forall n \geq 47, \frac{\theta^2}{n+2} \le 1$

donc en multipliant cette inégalité par $\frac{1}{n{\varepsilon}^{2}}$ , on obtient : $\frac{\theta^2}{n(n+2)\varepsilon^2} \le \frac{1}{n\varepsilon^2}$

donc $1-\frac{\theta^2}{n(n+2)\varepsilon^2} \geq 1-\frac{1}{n\varepsilon^2}$

En combinant les deux inégalités, on obtient bien :

$\forall n \geq47,\forall \varepsilon > 0, \quad P\big(|Z_n - \theta| \le \varepsilon\big) \ge 1 - \frac{1}{n\varepsilon^2}$

6) c) En déduire que, si n est supérieur ou égal à 2000, l'intervalle $[{Z}_{n}-\frac{1}{10};{Z}_{n}+\frac{1}{10}]$ est un

intervalle de confiance pour $\theta$ , avec un niveau de confiance au moins égal à 0,95.

Soit $n\geq2000$ ,

On applique le résultat de la question précédente à $\varepsilon=\frac{1}{10}$

Ainsi, on a :

$P\left(|Z_n - \theta| \le \frac{1}{10}\right) \ge 1 - \frac{1}{n \times \left(\frac{1}{10}\right)^2} = 1 - \frac{100}{n}$

Or on a $n\geq2000$ ,

donc,

$\frac{1}{n}\leq\frac{1}{2000}$

donc,

$\frac{100}{n}\leq\frac{1}{20}$

donc,

$1-\frac{100}{n}\geq1-\frac{1}{20}=0,95$

donc

$P\left(|Z_n - \theta| \le \frac{1}{10}\right) \ge 0{,}95$

Ce qui équivaut à

$P\left(Z_n - \frac{1}{10} \le \theta \le Z_n + \frac{1}{10}\right) \ge 0{,}95$

Il s'agit ainsi de la définition d'un intervalle de confiance. Ainsi, $[{Z}_{n}-\frac{1}{10};{Z}_{n}+\frac{1}{10}]$ est bien un intervalle de confiance pour $\theta$

avec un niveau de confiance au moins égal à 0,95.

Ce qu'il faut retenir

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev a l'avantage majeur de ne nécessiter que la connaissance de l'espérance et de la variance d'une variable aléatoire, sans aucune hypothèse sur sa loi. C'est ce qui en fait un outil simple et robuste pour construire des intervalles de confiance, comme on l'a vu dans l'exemple traité.

Sa contrepartie est une précision limitée : elle nécessite souvent des échantillons de grande taille (ici, n≥2000) pour garantir un niveau de confiance satisfaisant. D'autres outils, comme le théorème central limite, permettent d'obtenir des résultats plus fins avec moins d'observations.