Les probabilités en ECG reviennent presque tout le temps, à l’écrit comme à l’oral. Cependant, les étudiants ont souvent tendance à négliger la rigueur en probabilités, à tort, et finissent, volontairement ou non, par « arnaquer », ce qui est généralement très pénalisé par les correcteurs. Voici quelques erreurs très fréquentes qu’il convient d’éviter pour assurer des points.
I) Ne pas comprendre ce que la question me demande
II) Oublier les hypothèses d’un théorème
III) Confusion sur la notion d’indépendance
I) Ne pas comprendre ce que la question de probabilité me demande
Comprendre une question, c’est un conseil qui peut paraître évident, mais qui l’est en fait beaucoup moins. Dans le stress et la concentration, nous avons tendance à seulement lire une partie de l’énoncé, or c’est ce qui peut nous coûter du temps et des points. Avant de répondre à chaque question, il faut donc automatiquement se demander : « Qu’est-ce que la question me demande ? ». Ce conseil vaut pour les maths en général, et surtout pour les probabilités.
Ainsi, les questions commençant par « Montrer que » ou « Démontrer que » requièrent une démonstration mathématique rigoureuse, bien plus que celles commençant par « Justifier que » : il faut donc éviter les justifications par les mots, en général peu convaincantes surtout lorsqu’elles essayent d’interpréter superficiellement ce qu’il faut montrer en guise de preuve.
Dans le cas le plus courant d’une question demandant de montrer une égalité d’événements construits à partir de variables aléatoires, en général il faut éviter d’essayer d’écrire de longues phrases tentant de montrer l’évidence de cette égalité d’événements. Il faut plutôt prendre un et évaluer les variables aléatoires considérées en et montrer l’égalité comme on le ferait pour les fonctions (une variable aléatoire étant une fonction de dans ℝ ).
Par exemple, pour montrer que Y=a=i=1nXib, où Y et les Xi sont des variables aléatoires données, il faut en général prendre un quelconque, et chercher à montrer que Y()=ai1,…,n, Xi() b (démonstration de l’égalité précédente par double inclusion).
Ce type de question est très courante dans les sujets d’HEC (Maths II) et d’autres écoles, aux écrits comme aux oraux.
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II) Oublier les hypothèses d’un théorème probabiliste
Chaque fois qu’on apprend et qu’on utilise une formule, un théorème, il est toujours très important de se remémorer les conditions d’application. Voici les hypothèses des principaux résultats en probabilités à connaître absolument :
- Inégalité de Markov : Il faut que la variable aléatoire X définie sur (,A,P) soit positive (i.e. X()ℝ ) et admette une espérance pour affirmer que a>0, P(Xa)E(X)a
- Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : Il faut vérifier que la variable aléatoire considérée X admette un moment d’ordre 2 (donc une variance et une espérance) pour dire que >0, P(|X-E(X)|)V(X)2.
- Stabilité de certaines lois par somme de variables aléatoires indépendantes : une somme de variables aléatoires suivant une certaine loi peut suivre la même loi (les règles sur les paramètres n’étant pas l’objet de cet article). C’est le cas pour certaines lois (loi gamma, loi binomiale, loi normale, loi de Poisson, loi de Pareto (hors programme)…) (pas la loi exponentielle, ni la loi uniforme !), mais il ne faut pas oublier une hypothèse essentielle : l’indépendance mutuelle des variables aléatoires considérées dans la somme. Sans ça, on ne peut rien dire directement, une preuve rigoureuse est requise.
- Lemme des coalitions : Si X1, …, Xn sont mutuellement indépendantes, alors pour tout I, J deux parties de [[1,n]] disjoints, f : ℝ Card(I) ℝ et g : ℝ Card(J)ℝ , f((Xi)iI) et g((Xj)jJ) sont indépendantes. On note bien qu’on prend deux sous-familles de X1, …, Xn indexées sur des ensembles disjoints entre eux, donc toutes deux n’ont aucun élément en commun. Sinon, on ne peut pas conclure directement.
- Densité d’une somme de variables aléatoires à densité et produit de convolution : Soit X ayant pour densité fX et Y ayant pour densité fY. Si x ↦ –+fX(x-t)fY(t) dt est définie sur ℝ et continue sur ℝ sauf éventuellement en un nombre fini de points, ou bien simplement si fX ou fY est bornée, alors X+Y a pour densité fX+Y(x)=(fXfY)(x)=–+fX(x-t)fY(t) dt.
Attention : ne pas confondre fX bornée et fX à support borné !
- Caractérisation d’une variable aléatoire à densité : Si la fonction de répartition FX de la variable aléatoire X, définie sur (,A,P), est continue sur ℝ , et de classe C1 sur ℝ sauf éventuellement en un nombre fini de points, alors X est à densité (on se sert moins de la définition initiale que de celle-là en pratique)
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III) Confusion sur la notion d’indépendance en probabilité
C’est une des premières notions introduites en probabilités, quasi omniprésente dans les annales de maths, et pourtant, elle fait souvent l’objet de confusion.
La première erreur est de confondre indépendance et événements disjoints. En effet, on ne peut en général pas établir de lien entre les deux. On a même que pour deux événements indépendants mais de probabilité non nulle, alors ils ne sont pas disjoints. Autant dire que cette erreur commune est à absolument éviter.
Une deuxième erreur fréquente est de dire que Cov(X,Y)=0 X et Y sont indépendantes. Or c’est faux en général, seule l’implication X et Y sont indépendantes Cov(X,Y)=0 est vraie (la contraposée est également à retenir !). En général, démontrer l’indépendance de deux événements requiert de passer par le calcul de la probabilité de l’intersection.
Enfin, il est toujours bon de rappeler la nécessité de toujours vérifier l’indépendance entre X et Y avant d’écrire que V(X+Y) = V(X) + V(Y) ou encore E(XY) = E(X)E(Y).
