Mathématiques Approfondies 2 ESCP / HEC 2026 – Analyse du sujet

L’analyse du sujet

Préliminaires

Question 1

g est continue et strictement croissante sur ]a,b[, donc elle réalise une bijection de ]a,b[ sur g(]a,b[) = ]0,1[.

Question 2

Comme X est à densité, F_X est continue sur R et de classe C¹ sur ]a,b[ car sa densité est continue sur ]a,b[. Et grâce aux limites on montre que F_X est à valeurs dans [0,1].

Partie I – Fonction de répartition d’un couple : propriétés et exemples

Question 3

Pour tout y fixé, [X ≤ t] ∩ [Y ≤ y] ⊂ [X ≤ t], donc 0 ≤ F_(X,Y)(t,y) ≤ F_X(t).

Par encadrement F_(X,Y)(t,y) → 0.

Même raisonnement pour la seconde limite.

Question 4

(a) Par décomposition de l’événement, on montre l’égalité souhaitée.

(b) La suite d’événements ([X ≤ x] ∩ [Y ≤ n]) est croissante au sens de l’inclusion.  Donc on obtient le résultat souhaité avec le théorème de la limite monotone.

Question 5

Même démarche qu’à la question 4 avec les rôles de X et Y échangés.

Question 6

On passe à la limite grâce à la question 4.b) et 5 pour trouver le résultat.

Question 7

Il suffit de décomposer les événements pour retomber sur une probabilité qui est par définition positive.

Question 8

(a) Grâce aux inclusions suivantes : [X ≤ x] ∩ [Y ≤ y] ⊂ [X ≤ x] et [X ≤ x] ∩ [Y ≤ y] ⊂ [Y ≤ y].

Puis par croissance de la probabilité on obtient le résultat souhaité.

(b) On utilise la formule suivante, P([X ≤ x] ∪ [Y ≤ y]) = F_X(x) + F_Y(y) – F_(X,Y)(x,y) ≤ 1.

Premier exemple (questions 9 à 12) :

Question 9

On fait tendre y vers + avec la question 4.b). Raisonnement analogue pour l’autre égalité.

Question 10

(a) Méthode d’inversion classique, on retrouve des lois uniformes sur ]0,1[.

(b) On compose avec les bijections réciproques pour retomber sur la fonction de répartition et grâce à l’hypothèse, on trouve le résultat souhaité.

(c) L’ensemble à représenter est {(x,y) ∈ [0,1]² | 1/2 ≤ min(x,y) ≤ 2/3}.

(d) On décompose l’événement et on trouve l’inclusion dans l’événement, puis grâce à l’incompatibilité on trouve le résultat.

(e) En calculant le terme de droite, on trouve que cela fait 0. Donc P(U – V > 1/n) = 0 pour tout n. Du fait du rôle symétrique de U et V, on montre que  P(U = V) = 1.

(f) P(U = V) = 1 ⟺ P(F₁(X) = F₂(Y)) = 1.

Puis on conclut grâce à la bijectivité de F₁.

Question 11

On pose g = F₁⁻¹ ∘ F₂ et h = F₂⁻¹ ∘ F₁.

Question 12 (Python)

def Nuage1():

    U = rd.random(100)

    X = sp.ndtri(U)

    Y = -np.log(1 – U)

    plt.plot(X, Y, ‘*’)

    plt.show()

Deuxième exemple (questions 13 à 17) :

Question 13

On fait également tendre y vers +. Raisonnement similaire.

Question 14

(a) U et 1 – V suivent aussi la loi uniforme sur ]0,1[ (même raisonnement qu’en Q10).

On développe de nouveau pour retrouver la même structure que dans le premier exemple.

(b) Par analogie avec Q10(e) appliquée au couple (U, 1-V), qui a pour fonction de répartition min(u,w) :

P(U = 1 – V) = 1 donc X = F₁⁻¹(1 – F₂(Y)) ps.

(c) Y(Ω) ⊂ ]a₂, b₂[ donc 1 – F₂(Y) ∈ ]0,1[, et F₁⁻¹ est bien définie.

X = F₁⁻¹(1 – F₂(Y)) ps.

Question 15

Posons g = F₁⁻¹(1 – F₂) et h = F₂⁻¹(1 – F₁).

Question 16 (Python)

def Nuage2():

    U = rd.random(100)

    X = sp.ndtri(U)

    Y = 1 + 2 * sp.ndtri(1 – U)

    plt.plot(X, Y,’*’)

    plt.show()

Question 17

Graphe (a) : nuage globalement décroissant → contra-monotonie → Nuage2.

Graphe (b) : nuage globalement croissant → comonotonie → Nuage1.

Partie II – Fonctions 2-croissantes et copules 2-dimensionnelles

Question 18

(a) En distinguant les cas selon t ≥ y₀, on montre la croissance.

(b) Contre-exemple avec a₁ = a₂ = 0, b₁ = b₂ = 1.

Question 19

(a) Par calcul et en factorisant, on montre que f₂ est 2-croissante.

(b) Pour y < 0 : t ↦ ty est décroissante.

Question 20

La 2-croissance et la croissance sont des propriétés indépendantes.

Question 21

(a) On utilise la définition de la dérivée partielle ∂₁ F

∂₁ F(x,y) = lim_{h→0} [F(x+h,y) – F(x,y)] / h.

Puis de même pour ∂²_1,2.

(b) On utilise le fait que F est 2-croissante sur I × J puis passage à la limite.

Question 22

(a) Par calcul d’intégrale.

(b) Implication directe traitée en 21.b). La réciproque se fait grâce à la positivité de l’intégrale (bornes dans l’ordre croissant).

Question 23

On utilise la définition de la 2-croissance puis passage à la limite par la variable souhaitée (selon la fonction dont on étudie la monotonie).

Partie II – B : Copule 2-dimensionnelle

Question 24

Par définition de C, on montre que U et V suivent la loi uniforme sur [0,1].

Question 25

On calcule en vérifiant toutes les hypothèses.

Question 26

(a) Appliquer la 2-croissance avec (a₁, a₂) = (u₁, 0) et (b₁, b₂) = (u₂, v) :

Appliquer de nouveau avec (a₁, a₂) = (u₁, v) et (b₁, b₂) = (u₂, 1) :

Même démarche pour la seconde implication.

(b) Inégalité triangulaire en faisant apparaître C(u₁,v₂)

(c) Définition de la continuité.

Partie III – Théorème de Sklar et applications

Question 27

(a) On utilise l’expression donnée par l’énoncé puis on compose par F_X^-1 et F_Y^-1 qui sont bijectives et croissantes. Puis on étend aux autres cas.

(b) On développe et regroupe sous une même probabilité qui est positive.

(c) On vérifie aisément toutes les conditions.

Question 28

On peut montrer le théorème par analyse-synthèse (afin d’avoir l’unicité de garantie).

Question 29

Même raisonnement en faisant tendre y vers +infini

Partie III – B : Distribution logistique bivariée de Gumbel

Question 30

On montre que les fonctions de répartition et Z₁ et Z₂ sont continues sur R et C¹ sur R sauf éventuellement en un nombre fini de points. Pour les exprimer, on passe également par la limite de y en +

Question 31

Grâce aux questions précédentes, on obtient C(u,v) = uv / (u + v – uv).

Partie III – C : Famille des copules de Gumbel-Barnett

Question 32

(a) g est un polynôme du second degré en θ dont la dérivée s’annule en θ^*.

g est décroissante sur ]-∞, θ^*] puis croissante sur [θ^*, +∞[.

(b) En travaillant avec les inégalités et la négativité de ln, on montre que g est positive sur [0,1].

Question 33

Par composition C_θ est C² sur ]0,1[².

On utilise le résultat de la 22.b), on montrant que ∂²_(1,2) est positive (grâce à la 32.b)).  

Question 34

On étend aux bornes, en passant à la limite. Puis on conclut grâce à la Q33.

Question 35

C_θ est 2-croissante sur [0,1]² (Q34) et les conditions sont vérifiées donc C_θ est une copule.

Question 36

Par calcul des fonctions de répartitions (toujours en passant par la limite de y en . On montre que X, respectivement Y, suit une loi exponentielle de paramètre 1, respectivement de paramètre 2.