L’analyse du sujet de mathématiques approfondies ECRICOME 2025 est tombée et vous pourrez la découvrir.
Grâce à cette analyse, vous comprendrez mieux le sujet, les concepts abordés et les pièges à éviter.
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L’analyse du sujet de mathématiques approfondies ECRICOME 2025
Le sujet est composé de 2 exercices et d’un problème plus long.
Le premier exercice est majoritairement sur les comparaisons de séries et du calcul d’intégrales
Le deuxième exercice se concentre sur l’algèbre bilinéaire avec les matrices avec de la diagonalisation et des matrices orthogonales.
Enfin, le problème composé en 3 parties se concentre sur la fonction béta et les variables à densité comme la loi gamma. Il fallait démontrer les principales propriétés de ces lois. La partie avec du python se trouvait dans la partie 3 qui se concentrait sur la méthode d’inversion.
Exercice 1
1) Pour les 3 sous-questions on fait les tests de convergence avec de la comparaison à des séries convergentes
2) Calcul de sommes
3) a) On utilise les formules trigonométriques : cos (a+b) = cos(a)cos(b) – sin(a)sin(b)
b) On le montre par récurrence (outil pour la récurrence : somme géométrique)
4) a) Théorème des gendarmes
b) L’intégrande est majorée par M car sin est compris entre 0 et 1 et f’ en valeur absolue est majorée par M.
Donc quand l tend vers +∞ M/l tend vers 0. Par comparaison la limite recherchée est bien 0.
c) Par intégration par parties (quand on intègre du cos on retombe sur du sin soit la question précédente)
5) a) Continuité en 0 à montrer, on utilise la limite à droite en 0. Attention : dérivée composée
b) La continuité à droite et à gauche implique le prolongement en 0
c) On calcule la dérivée en 0 via la def° de la limite (avec h)
d) On fait la même chose que précédemment en faisant attention à la continuité et au prolongement en 0
6) a) On montre cela grâce à la parité du cos
b) On retrouve le lien avec la question 2 et 6)a)
7) a) On intervertit la somme et l’intégrale dans la question 6)b) après avoir bien justifié l’existence de cette somme, ce qui permet de calculer l’intégrale puis la somme
b) Avec la question 6)b) et la question 7) a), on peut donc calculer la valeur de A à partir de la deuxième égalité de la question 2)
Exercice 2
Partie 1
1 a) La famille contient 10 éléments alors que l’espace est de dimension 9. La famille est donc liée.
b) Utilisation du polynôme minimal pour trouver le polynôme annulateur
2) a) Python avec la fonction if pour vérifier l’hypothèse que le polynôme est annulateur de M
b) Montrer que 0 n’est pas valeur propre => 0 n’est pas racine du polynôme annulateur
3) a) Propriété du polynôme annulateur donc les racines sont les valeurs propres de la matrice
b) Etude de la fonction
c) Vérifier la dimension de ces sous-espaces propres
Partie 2
4) On le montre avec la transposée
5) S est diagonalisable dans R car c’est une matrice symétrique, elle admet donc des valeurs propres.
On pose X vecteur de Mn,1(R), tel que tXSX = tXtMMX = ||MX||2 > 0 pour montrer que les valeurs propres de S sont strictement positives
6) S est symétrique réelle donc diagonalisable dans une base orthonormée de R. Il existe donc une matrice orthogonale P et une matrice diagonale D telles que : S = PDtP
7) a) Les coefficients de la diagonale de ∆ sont 1 ou -1, 4 ou -4, 7 ou -7. Il y a donc 8 matrices possibles
b) ∆ est inversible car ses coefficients diagonaux sont strictement positifs.
8) On pose R = P∆tP ce qui permet de montrer le résultat demandé
9) R inversible car P orthogonal donc inversible et ∆ aussi
P-1 = tP donc R-1 = P∆-1 tP
10) tUU = t(MR-1)(MR-1) = R-1SR-1
Or S = R2 donc tUU = I donc U orthogonale
Partie 3
11) R semblable à ∆, possède donc les mêmes valeurs propres strictement positives
12) T2= S car VTt(TV)= S car V orthogonale et T symétrique
N2 = D en prenant D = N
13) TS = TT2 = T2T = ST
14) a) Ci est la i-ème colonne de P et PEi aussi car Ei est le vecteur avec un i en i-ème position
b) Ci vecteur propre et associé à la valeur propre car SCi = P Ei = λiCi
c) TSCi = T2TCi = TSCi = λiTCi
d) TCi et Ci sont deux vecteurs propres associés à la valeur et comme les valeurs propres sont de multiplicité 1, l’espace propre est de dimension 1, les vecteurs propres sont donc colinéaires
15) N = ∆ est diagonale
16) De même R = PDtP et T = PNtP donc T = R
17) T = R donc V = MT-1 = MR-1 = U donc V = U
Problème
Partie 1
1) a) équivalent usuel
b) par comparaison d’une intégrale convergente (Riemann)
c) Bien justifier que le changement de variable est licite
d) Prouver la convergence sur l’intervalle grâce aux deux questions précédentes
2) Changement de variable u= 1-t
3) B(x,1) = 1/x
4) a) On part de B(x, y+1) puis on
B(x, y+1) = B(x, y) – B(x+1, y)
D’où l’équation demandée
b) Intégration par parties en partant de B(x, y+1) qui est égal à la fin à (x/y)B(x+1,y)
c) B(x, y+1) = B(x, y) – B(x+1, y)
B(x+1, y) = (x/y)B(x+1,y) = (x/y)[B(x, y) – B(x+1, y)]
Donc en factorisant par B(x+1, y), on obtient l’équation demandée
5) 
Et B(1,q) = 1/q
Partie 2
6) a) Γ(n+1)=n!
b) Changement de variable u = (2t)^1/2 donc Γ(1/2) = (∏)^1/2
7) 
Changement de variable u=λx donc
8)a) Loi gamma (a,1). Espérance E(X) = a et variance V(X) = a
b) Loi gamma (1,b). Espérance E(X) = 1/b et variance V(X) =1/b2
9)a) On passe par l’expression de la densité pour prouver que Y suite une loi gamma (a,1)
b) Pour prouver que l’espérance et la variance de X existe montrer que leurs intégrales convergent. Espérance E(X) = a/b et variance V(X) = a/b2
10) a) On peut calculer la densité par formule de convolution car X1 et X2 sont indépendantes
Changement de variable u = t/x et on tombe sur l’équation demandéeb) A partir de l’expression trouvée à la question et l’expression de la densité à la question 7, on en déduit l’expression de la fonction Bêta.
c) B(1/2, 1/2) =∏
Partie 3
11) a) Espérance existe et vaut B(x,y)
b) def Simu1(x, y) :
U = rd.random()
return U**(x – 1) * (1 – U)**(y – 1)
c) C’est une moyenne empirique donc par la loi faible des grands nombres on montre la convergence
d) def Bn(x, y, n):
U = rd.random(n)
return (U**(x – 1) * (1 – U)**(y – 1)).mean()
e) On illustre la loi B(1/2, 1/2)
12) a) On trouve que l’espérance de Xa-1 vaut Γ(a), elle est définie pour tout a > 0, donc elle existe. Pour la variance, on trouve que V(Xa-1) =Γ(2a-1)- Γ(a)2
b) Par la loi faible des grands nombres on sait déjà que la moyenne empirique tend vers l’espérance qui vaut . Donc Mn est bien un estimateur sans biais et convergent de
c) def Myst(a):
U = rd.random()
X = -np.log(1 – U)
return X
Simulation d’une loi exponentielle 1 par la méthode d’inversion
d) A partir de l’expression de Mn et de celle de Xk qui est donnée par la question précédente
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