Exercice 1

Question 1

def simulZ():

    X1 = rd.random()

    X2 = rd.random()

    return X1 * X2

Question 2

Z est bornée donc le théorème d’existence d’espérance par domination :

E(Z) = ¼ (indépendance).

E(Z²) = 1/9. D’où V(Z) = 7/144.

Question 3

1. a) En composant par exp qui est bijective croissante, on obtient :

F(x) = eˣ si x < 0  ;  F(x) = 1 si x ≥ 0.

1. b) On dérive sauf en 0 ? et on trouve F(x) = eˣ si x < 0 ou 0 sinon.

Question 4

a) On vérifie les 3 conditions d’une densité, et après on fait un produit de convolution (les 2 VA sont bien indépendantes) pour retrouver le résultat.

b) On utilise la relation entre fonction de répartition et densité. En intégrant on obtient H(x) = (1−x)eˣ si x < 0 ; H(x) = 1 si x ≥ 0

c) On passe par l’expression de exp(Y₁) et exp(Y₂), et on trouve après calcul :

F_Z(x) = x − x·ln(x) sur ]0,1]  

Question 5

a) L’intégrale est prolongeable par continuité donc convergente, puis on fait une IPP pour trouver −1/(n+1)².

b) Par théorème de transfert : E(Z) = 1/4.

E(Z²) = 1/9. Donc V(Z) = 1/9 − 1/16 = 7/144. Cohérent avec la question 2.

Exercice 2

Question 1

On montre l’existence par récurrence.

Question 2

def suite_v(n):

    u = 0

    v = 2

    for k in range(2, n+1):

        u = np.sqrt((1+u)/2)

        v = v/u

    return v

Question 3

1. a) Existence et unicité par récurrence forte sur n.

1. b) On a α_n+1 = α_n/2 et α₁ = π/2, on déduit par récurrence immédiate : α_n = π / 2ⁿ

1. c) On fait un produit téléscopique, puis on raisonne par équivalent. Ainsi, lim v_n = π

Question 4

Posons x = π/2ⁿ → 0. Avec le DL de sin on trouve :

a = π,    b = −π³/6,    c = π⁵/120

Question 5

1. a) def suite_w(n):

           return (4*suite_v(n+1) – suite_v(n))/3

1. b) Avec les limites de v_n et v_n+, on trouve que lim w_n = π.

1. c) On combine les DL, puis on raisonne par équivalents.

(w_n − π)/(v_n − π) ∼ π² / (80 x 4ⁿ)   →   0

1. d) La suite (w_n) fournit donc une approximation de π beaucoup plus précise pour le même rang n car le O est en 1/16 et non ¼.

Question 6

1. a) En résolvant, on trouve d = c(r − q)/(1 − q)

1. b) Comme r < q, la convergence est plus rapide.

Exercice 3

Partie 1

Question 1

1. a) X_k suit la loi uniforme discrète sur ⟦0, k⟧.

1. b) X_k est une VADF, donc admet espérance et variance.

E(X_k) = k/2.

V(X_k) = k(k+2)/12.

Question 2

1. a) [Y = n] = [X₁ ≠ 0] ∩ [X₂ ≠ 0] ∩ … ∩ [X_n−1 ≠ 0] ∩ [X_n = 0]

1. b) Par indépendance,

P(Y = n) = 1/(n(n+1)) = 1/n − 1/(n+1).

1. c) Par somme télescopique : = 1 et P(Y = 0) = 0 (Y prend ses valeurs dans ℕ)

1. d) Terme général d’une série divergente donc E(Y) n’existe pas.

Partie 2

Question 3

def var_Z(n):

    U = rd.randint(0, n)

    Z = rd.geometric(1 – U/n)

    return Z

Question 4

1. a) (U_n = k_{){k ∈ ⟦0, n−1⟧}} est un SCE donc d’après la formule des probabilités totales, on retrouve le résultat souhaité

1. b) Avec les sommes de Riemann sur [0,1] de la fonction x ↦ xⁱ⁻¹ (resp. x^ⁱ), continues sur [0,1] : lim P(Z_n = i) = 1/i − 1/(i+1) = 1/(i(i+1)).

1. c) On reconnaît P(Y = i), donc (Z_n) converge en loi vers Y

Question 5

On a bien un SCE, l’existance des espérances conditionnelles, et la convergence absolue de la série. Par calcul, on retrouve la série harmonique.

Question 6

1. a) On prend t dans [k, k+1] puis on intègre entre k et k+1 puis calcul.
2. b) On somme pour k de 1 à n-1.
3. c) En divisant l’encadrement par ln(n) (positif pour n ≥ 2) et par théorème d’encadrement on trouve E(Z_n) ∼ ln(n).

Problème

Partie 1 — Caractérisation des matrices symétriques positives

Question 1

1. a) En prenant un vecteur propre associé à λ on obtient le résultat.

1. b) A est positive donc λ ≥ 0.

Question 2

1. a) A est symétrique réelle, donc par théorème spectral, il existe P orthogonale et D diagonale réelles telles que A = PDᵗP.

1. b) Calcul basique.

1. c) ᵗYDY = ≥ 0

Question 3

On a montré l’équivalence classique suivante : A ∈ S_n⁺(ℝ)  ⟺  Sp(A) ⊂ ℝ₊

Partie 2 — « Racine carrée » d’une matrice symétrique positive

Question 4

1. a) Les valeurs propres de A sont positives (Q3) donc Δ est correctement définie.

1. b) On vérifie la symétrie, la positivité des valeurs propres (√λ_i ≥ 0) donc B est positive et par calcul B² = A.

Question 5

Pour k = j (qui est ≠ i), le facteur (μ_j − μ_j) = 0 annule le produit.

Question 6

1. a) Par Q5, seul le terme i = k contribue, ce qui donne le résultat attendu.

1. b) Par récurrence sur k.

6. c) En faisant sortir la matrice P de la somme on retrouve le résultat. S(D) est diagonale de coefficients √λ_i (par 6.a), c’est exactement Δ. Donc S(A) = B.

Partie 3 — Unicité de la racine carrée

Question 7

1. a) C² = A donc les matrices A et C commutent.

1. b) Par récurrence immédiate sur k, A^kC = CA^k puis par linéarité on trouve que BC = CB.

Question 8

1. a) Il s’agit des endomorphismes canoniquement associés donc ils commutent également.

1. b) Par calcul.

1. c) c symétrique donc on montre que c_i est symétrique aussi.

1. d) c_i est un endomorphisme symétrique donc diagonalisable dans une base orthonormale ℬ_i de E_i. Or les éléments de ℬ_i sont vecteurs propres de c_i (donc de c) et ils sont aussi vecteurs propres de b.

1. e) b étant symétrique, ℝⁿ se décompose en somme directe orthogonale des sous-espaces propres. Puis par concaténation des bases orthonormales, le tour est joué.

1. f) On montre que toutes les valeurs propres de c_i valent √μ_i, et c_i = √μ_iId_Ei = b restreint à E_i.

Donc par recollement sur ℝⁿ : c = b, soit C = B.

Partie 4 — Inversibilité et positivité

Question 9

On reprend la démarche des questions 1 et 2 avec inégalités strictes.

Question 10

1. a) S_n(ℝ) est un sev donc stable.

1. b) N positive ⟹ Sp(N) ⊂ ℝ₊ (Q3) donc Sp(M) ⊂ [1, +∞[ donc 0 ∉ Sp(M), donc M est inversible.

En diagonalisant, on trouve que M⁻¹ = QD⁻ᵗQ avec D⁻¹ = diag(1/λ₁, …, 1/λ_n), puis on vérifie les conditions.

Question 11

1. a) Grâce au fait que S₁ est définie positive, on montre que S₂ est aussi définie positive.

1. b) 0 n’est pas valeur propre donc S₁^1/2 est inversible. Puis on calcule.

1. c) Symétrie de L par simple calcul.

L − I_n est symétrique (différence de deux matrices symétriques).

ᵗX(L − I_n)X ≥ 0 car S₂ − S₁ est positive. Donc L − I_n est positive.

1. d) Application de la Q10 avec M = L.

1. e) Par calcul direct, puis S₁⁻¹ − S₂⁻¹ est symétrique (différence d’inverses de matrices symétriques). Donc S₁⁻¹ − S₂⁻¹ est positive.