Mathématiques ECS HEC / ESSEC 2022 – Analyse du sujet

Préambule :

Malgré les attentes de tous les candidats face aux épreuves de conception HEC /ESSEC, ce pavé de notations et de rappel est moins impressionnant que précédemment. Coup de chance pour les cubes ou ceux qui ont passé du temps à revoir l’épreuve ECS de l’année précédente, le concept est très similaire avec des endomorphismes qui se répètent et des matrices qui, à une certaine puissance se répètent elles aussi. Cependant, il faut savoir pour les prochaines fois que souvent, la difficulté du sujet est inversement proportionnelle à la quantité d’informations données dans le préambule.

Partie I. Premières propriétés

Section A

Cette partie porte en fait beaucoup sur le cours. Sous certaines formes, on nous demande d’expliciter quelques propriétés fondamentales d’algèbre linéaire (décomposition de vecteurs sous combinaison linéaire de vecteurs de la base, caractéristiques d’une famille de cardinal supérieur à la dimension de l’espace dont elle est extraite…). Les quatre premières questions sont assez simples. Dans la 5 -ème il faut faire un raisonnement par l’absurde ( ce qui n’est jamais très intuitif dans les sujets de maths). La question 5 est vraiment celle qui noue l’ensemble des questions. Une fois faite, la question 6 découle du même raisonnement. La question 7 qui se comporte comme conclusion de cette partie est en fait à nouveau une application du cours. Il fallait tout le temps se souvenir qu’une famille est génératrice si Card(F)>Dim(E) et elle est libre.

Section B

On commence à voir dans cette partie les éléments qui ressemblent aux Parisiennes. C’est-à-dire des calculs qui semblent très extravagant car les notations sont longues et frustrantes. Au moins l’énoncé nous épargne des logorrhées habituelles. En fait, si on prend son temps et que l’on calcul bêtement les polynômes on y arrive plutôt bien. C’est ici utile de tout le temps essayer les propriétés en dim 2 par exemples pour essayer de généralise le résultat. Les questions 8-11 sont plutôt simples mais il faut être rigoureux pour avoir tous les points. La question 12 est plus compliquée. Notamment la démonstration indirecte de l’équivalence. La question 13 est probablement assez discriminante car il s’agit d’une synthèse de tout ce qui a été fait dans cette section donc elle examine les capacités de synthèse.

Section C

Cette section a dû le faire beaucoup de bien aux candidats moins confiants car il s’agit d’un exemple et donc d’une application plus concrète avec moins de recours à des notation, indices, exposants etc. Il faut donc capitaliser le temps que l’on consacre à cette partie. C’est parce qu’elle sera abordée par la majorité des candidats qu’il faut se démarquer en faisant parfaitement les calculs. Les question 14-16 sont assez simples (donc il fallait vraiment s’appliquer et aller prendre les points !!!). La question 17 est tout aussi simple mais plus impressionnante. Il fallait tout simplement faire les calculs de puissance afin de faire un système pour trouver des coefficients appropriés ! Comme par hasard, le carré de G est colinéaire à G ! La question 18 est de même, il faut juste prendre son temps et faire les calculs !

Section D

Ici, le sujet se corse un peu car il fait appel à des notions qu’on a vu en première année de prépa. On est souvent habitué à l’application des polynômes dans des exercices dédiés d’algèbre linéaire. La question 19 est en fait plus simple que l’on pense car il s’agit seulement de montrer l’existence d’un tel PGCD. Il fallait commencer son raisonnement en remarquant tout facilement que p(X)= 1 est tout le temps candidat. On pouvait continuer son raisonnement avec une pseudo-récurrence. La question 20 est en fait plus simple que l’énoncé le fait paraitre. A nouveau, il est conseillé d’appliquer la propriété avec deux trois exemples simples au brouillon pour voir comment ça fonctionne. La question sera probablement discriminante car elle est susceptible de faire peur aux candidats et d’être sautée par beaucoup. La question 22 est aussi plutôt besogneuse mais abordable. Essayez de vous imaginer une sinusoïdale (théorème de Weierstrass). On se représente plutôt bien que ce polynôme oscille sur l’axe des abscisses sans jamais y être tangent (d’où la multiplicité réduite des racines). La question 23 sera discriminante mais pas de soucis si vous n’y êtes pas intégralement arrivé car la question 24 (un peu complexe pour du Scilab) est probablement la plus coefficientée de cette partie. Il ne faut pas négliger le script Scilab qui vaut plus par temps passé que la plupart des questions. Il faut aussi se souvenir que ne traiter aucune des questions Scilab est susceptible de biaiser de manière néfaste votre correcteur.

Partie II

Section A

Cette section a dû faire plaisir aux amateurs des épreuves parisienne. C’est peut-être une tentative de la part de l’ESSEC (très probablement l’Ecole qui a conçu ce sujet) de se rapprocher des sujets de HEC. En effet, pour les amoureux des polynômes de Lagrange, on y voit pas mal de similarité dans les raisonnements (cf ques 26). La première question est assez simple. La question 28 est une application de ce qui a été vu dans la partie avant. La question 29 est aussi plutôt abordable. Il faut en fait savoir faire des sommes et ne pas se perdre dans les indices. La conclusion que u est cyclique est prévisible mais il faut vraiment rassembler tous les éléments pour ce faire. Si un élément manque à votre conclusion, on peut vous accorder peu de points. La question 3 qui sera probablement discriminante est très chronophage si faite parfaitement. On n’a pas besoin de s’en vouloir si on l’a sautée pour aller à la chasse aux point autre part. Il faudra voir l’importance que les correcteurs lui accordent mais a priori ce n’en valait pas nécessairement la peine (cela dépend aussi de votre niveau).

Section B

A nouveau n’hésitez pas à tenter un raisonnement par l’absurde qui était ici judicieux. Si la famille n’est pas libre, un vecteur doit être une combinaison linéaire des autres et donc l’endomorphisme ne peut être nilpotent car l’image d’un des u^(k) (e) retombera forcément sur un vecteur qui n’est manifestement pas nul par u. Cette partie courte constitue une réelle synthèse de tout ce qui a été fait avant. Les concepteurs testent que vous avez bien compris tout ce qui a été fait jusqu’à la.

Section C

Cette partie a dû faire beaucoup de bien aux élèves qui sont moins confiants en algèbre. Les premières questions sont très semblables à celles qu’on peut trouver dans des EML ou EDHEC. De 33 à 38 il n’y avait pas de pièges ou de difficultés majeures. Il fallait se concentrer et appliquer ce qu’on a vu des centaines de fois auparavant en faisant des annales. Quoique cette partie ne sera pas forcément très discriminante, l’avoir fait montre qu’on est confiant si bien en algèbre qu’en analyse. Cette partie fait quand même 1/6 des questions donc on pouvait quand mêle faire les questions sans faire allusions aux endomorphismes cycliques ! La question 41 est une nouvelle synthèse. Ce sont des questions sont assez discriminantes car elles permettent aux correcteurs de voir si l’élève a bien compris tout ce qui s’est passé jusqu’à là. C’est une sorte de checkpoint. Pour ceux qui ont passé sur la 41, ne vous faites pas trop de soucis. Il y a probablement beaucoup de candidats qui n’ont pas eu le temps de faire jusqu’à la question 41 et donc si vous avez simplement fait la chasse au point cela ne sera pas rédhibitoire.

Partie III (C’est une propriété assez fascinante que l’on démontre là. On peut se mettre en haleine en réfléchissant au fonctionnement de cette propriété en regardant le cas ou p=2)

Section A

On prend p=n. Rappelez vous que l’énoncé stipule que U|F est cyclique si dim(F)=1. Aucun calcul nécessaire.

Section B
Cette section commence vraiment à ressembler aux épreuves des parisiennes comme on les connait. Les calculs sont beaucoup plus impressionnants et les notations se multiplient exponentiellement. La aussi il fallait faire preuve de rigueur, noter sur son brouillon toutes ces notations et faire les calculs en s’assurant qu’on écrit toujours les bons indices. C’est vraiment la difficulté majeure de cette partie, ne pas se perdre dans ses calculs. Quoique abordée par probablement peu de candidats cette partie va vraiment séparer les bons élèves des très bons élèves. Elle n’est pas nécessaire pour avoir une très bonne note à l’épreuve (merci ESSEC de concevoir une épreuve si longue : c’est tout le temps un avantage. En effet, plus l’épreuve est longue plus on a le choix de traiter les exos sur lesquels on se sent le plus confiant) mais après 3h de réflexion, les concepteurs savent que beaucoup se perdront dans les calculs. Les questions 50-52 de synthèse sont moins discriminantes car elles ne sont presque pas traitables si on faisait seulement de la chasse au point.

Section C

La Matrice est triangulaire de sorte. C’est en fait une matrice constituée de p petites matrices. Par exemple si dim F1= 3. Dans les trois premières lignes, tous les coefficients a partir de la quatrième ligne seront nuls et vis versa. La question 54 vient renforcer cette interprétation graphique. Cette partie montre qu’il faut tout le temps passer une dizaine de minutes à lire le sujet. Cette partie pouvait probablement rapporter pas mal de points car elle a dû l’être traitée par peu de candidats car elle arrive tard dan l’épreuve. On pouvait y gratter des points faciles.

Section D (Encore une propriété fantastique)

A nouveau les concepteurs nous font calculer des lignes et des lignes, ce qui est vraiment dommage car c’est probablement la partie la plus intéressante de l’énoncé. Encore un fois, les calculs ne sont pas vraiment très compliqués mais il faut se souvenir et ne pas se confondre partie toutes les notations. Il fallait aussi souligner quelques questions avec des points de cours à gagner comme la 57 qui dissimule des propriétés de première année. Sinon, la partie est assez faisable.

Conclusion :

Cette épreuve était moins compliquée celle de 2021. La difficulté vient surtout du nombre absurde de questions à traiter. Ceci est cependant avantageux à ceux qui sont moins confiants en maths. Etant donnée que la difficulté n’était pas croissante dans le sujet, on pouvait trouver des points à gratter partout (et notamment dans la fin de l’énoncé.) On dirait bien une conception ESSEC. Il y a avait très peu de Scilab ce qui veut dire que les quelques questions rapporteront beaucoup. Les meilleurs candidats seront ceux qui ont réussi à expliciter leurs calculs parfaitement. Cette épreuve permet aux moins bons de gagner beaucoup de points. On pouvait très bien performer si on prenait du temps à lire et comprendre le sujet. Bonne chance pour la Maths II.